Номер 4.13, страница 131 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.13. Радиус поворота желез-ной дороги равен 5 км, а длина дуги поворота равна 400 м. На сколько градусов отклонилось направление дороги по сравнению с первоначальным направлением?

Для решения этой задачи нам нужно найти центральный угол дуги окружности, зная ее радиус и длину. Этот угол и будет равен углу отклонения направления дороги.

Представим поворот железной дороги как дугу окружности.

Дано:
Радиус поворота: $R = 5 \text{ км}$
Длина дуги поворота: $L = 400 \text{ м}$

Решение:

1. Прежде всего, приведем все величины к единой системе измерения. Переведем радиус из километров в метры:$R = 5 \text{ км} = 5 \times 1000 \text{ м} = 5000 \text{ м}$

2. Угол отклонения направления дороги равен центральному углу $ \alpha $, который соответствует дуге поворота. Длина дуги окружности $L$ связана с радиусом $R$ и центральным углом $ \alpha $ (выраженным в радианах) следующей формулой:$L = \alpha_{\text{рад}} \cdot R$

3. Выразим из этой формулы угол в радианах:$\alpha_{\text{рад}} = \frac{L}{R}$Подставим наши значения:$\alpha_{\text{рад}} = \frac{400 \text{ м}}{5000 \text{ м}} = \frac{4}{50} = \frac{2}{25} = 0.08 \text{ радиан}$

4. В задаче требуется найти угол в градусах. Для перевода радиан в градусы используем соотношение: $ \pi \text{ радиан} = 180^\circ $.Формула для перевода:$\alpha_{\text{град}} = \alpha_{\text{рад}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$

5. Подставим найденное значение угла в радианах в формулу для перевода в градусы:$\alpha_{\text{град}} = 0.08 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{14.4^\circ}{\pi}$

6. Теперь вычислим приближенное значение, используя $\pi \approx 3.14159$:$\alpha_{\text{град}} \approx \frac{14.4^\circ}{3.14159} \approx 4.5836^\circ$Округлим результат до сотых: $4.58^\circ$.

Ответ: направление дороги отклонилось примерно на $4.58^\circ$.