Страница 131 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.9. Длина экватора 40 000 000 м. Найдите радиус Земли в метрах, считая, что она имеет шарообразную форму.

4.9. По условию задачи, Земля имеет шарообразную форму. Длина экватора — это длина большой окружности Земли. Формула, связывающая длину окружности $L$ с её радиусом $R$, выглядит так:

$L = 2 \pi R$

Чтобы найти радиус Земли, выразим $R$ из этой формулы:

$R = \frac{L}{2 \pi}$

В задаче дано, что длина экватора $L = 40\;000\;000$ м. Подставим это значение в нашу формулу:

$R = \frac{40\;000\;000}{2 \pi} = \frac{20\;000\;000}{\pi} \text{ м}$

Для получения численного значения, используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$:

$R \approx \frac{20\;000\;000}{3.14159} \approx 6\;366\;197.72 \text{ м}$

Округляя результат до целого числа, получаем:

$R \approx 6\;366\;198 \text{ м}$

Ответ: радиус Земли составляет приблизительно $6\;366\;198$ метров.

4.10. Угол колебания маятника настенных часов равен $38^\circ$, а длина дуги, которую проделывает конец маятника, равна $24 \text{ см}$. Найдите длину маятника.

Для решения этой задачи мы будем рассматривать движение конца маятника как движение по дуге окружности. В этой модели длина маятника является радиусом окружности ($r$), а угол колебания — центральным углом ($\alpha$), который опирается на дугу, описываемую концом маятника. Длина этой дуги ($L$) нам известна.

Исходные данные:

• Угол колебания $\alpha = 38^{\circ}$.
• Длина дуги, которую проделывает конец маятника, $L = 24$ см.

Длина дуги окружности $L$ связана с радиусом $r$ и центральным углом $\alpha$ (в градусах) следующей формулой:$L = \frac{\pi r \alpha}{180^{\circ}}$

Наша цель — найти длину маятника, то есть радиус $r$. Для этого выразим $r$ из формулы:$r = \frac{180^{\circ} \cdot L}{\pi \alpha}$

Теперь подставим в эту формулу известные нам значения:$r = \frac{180^{\circ} \cdot 24 \text{ см}}{\pi \cdot 38^{\circ}}$

Выполним вычисления:$r = \frac{4320}{38\pi} \text{ см} = \frac{2160}{19\pi} \text{ см}$

Для получения численного ответа используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$:$r \approx \frac{2160}{19 \cdot 3.14159} \text{ см} \approx \frac{2160}{59.69021} \text{ см} \approx 36.186 \text{ см}$

Округляя результат до сотых, получаем длину маятника.

Ответ: длина маятника составляет приблизительно $36.19$ см.

4.11. Как изменится экватор земного шара, если его радиус увеличится на 1 см?

Для решения этой задачи будем считать Землю идеальным шаром, а экватор — окружностью. Длина окружности $L$ (в данном случае, длина экватора) связана с её радиусом $R$ (радиусом Земли) формулой: $L = 2\pi R$.

Пусть первоначальный радиус Земли равен $R_1$. Тогда первоначальная длина экватора составляет $L_1 = 2\pi R_1$.

Согласно условию, радиус увеличивается на 1 см. Обозначим это изменение как $\Delta R = 1$ см. Новый радиус $R_2$ будет равен $R_1 + \Delta R$.

Новая длина экватора $L_2$ будет вычисляться по формуле: $L_2 = 2\pi R_2 = 2\pi (R_1 + \Delta R)$.

Чтобы найти, как изменится длина экватора, найдем разность $\Delta L$ между новой ($L_2$) и первоначальной ($L_1$) длиной:$\Delta L = L_2 - L_1$.

Подставим выражения для $L_1$ и $L_2$:$\Delta L = 2\pi (R_1 + \Delta R) - 2\pi R_1$.

Раскроем скобки и упростим выражение:$\Delta L = 2\pi R_1 + 2\pi \Delta R - 2\pi R_1 = 2\pi \Delta R$.

Как видно из полученной формулы, изменение длины экватора зависит только от изменения радиуса ($\Delta R$) и не зависит от первоначального радиуса Земли ($R_1$).

Подставим в формулу известное значение $\Delta R = 1$ см:$\Delta L = 2\pi \cdot 1 \text{ см} = 2\pi$ см.

Для получения числового значения используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$:$\Delta L \approx 2 \cdot 3.14159 \text{ см} \approx 6.283$ см.

Ответ: Длина экватора увеличится на $2\pi$ см, что составляет приблизительно 6.283 см.

4.12. На рисунке 4.5 радиусы малых окружностей равны $r$ (они одинаковые), а радиус большой окружности равен $R$. Выразите $r$ через $R$.

Задача содержит два случая расположения малых окружностей внутри большой. Решим задачу для каждого случая отдельно.

Для левого рисунка (три малые окружности)

Пусть $O$ — центр большой окружности, а $R$ — её радиус. Пусть $O_1, O_2, O_3$ — центры малых окружностей, а $r$ — их радиус. Поскольку три малые окружности одинаковы и касаются друг друга, их центры $O_1, O_2, O_3$ образуют равносторонний треугольник со стороной, равной $2r$. Из соображений симметрии, центр большой окружности $O$ совпадает с центром (центроидом) этого треугольника. Рассмотрим геометрическую конструкцию, состоящую из центров окружностей: Расстояние от центра равностороннего треугольника до его вершины вычисляется по формуле $d = \frac{a}{\sqrt{3}}$, где $a$ — длина стороны треугольника. В нашем случае $a = 2r$, следовательно, расстояние от $O$ до $O_1$ равно $OO_1 = \frac{2r}{\sqrt{3}}$. Радиус большой окружности $R$ складывается из расстояния $OO_1$ и радиуса малой окружности $r$, так как точка касания $T$ лежит на прямой, проходящей через центры $O$ и $O_1$. Таким образом, получаем уравнение: $R = OO_1 + r = \frac{2r}{\sqrt{3}} + r$. Вынесем $r$ за скобки, чтобы выразить его через $R$: $R = r \left( \frac{2}{\sqrt{3}} + 1 \right) = r \left( \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right)$. Отсюда находим $r$: $r = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$. Для упрощения выражения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 - \sqrt{3})$: $r = R \cdot \frac{\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = R \cdot \frac{2\sqrt{3} - 3}{4 - 3} = R(2\sqrt{3} - 3)$.

Ответ: $r = R(2\sqrt{3} - 3)$.

Для правого рисунка (четыре малые окружности)

В этом случае центры четырех малых окружностей $O_1, O_2, O_3, O_4$ образуют квадрат со стороной $2r$. Центр большой окружности $O$ совпадает с центром этого квадрата. Рассмотрим геометрическую конструкцию, образованную центрами: Расстояние от центра квадрата $O$ до одной из его вершин, например $O_1$, равно половине длины диагонали квадрата. Диагональ квадрата со стороной $2r$ равна $(2r)\sqrt{2}$. Тогда расстояние $OO_1 = \frac{(2r)\sqrt{2}}{2} = r\sqrt{2}$. Также это расстояние можно найти по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $r$, образованного центром $O$, вершиной $O_1$ и проекцией $O_1$ на ось. $OO_1 = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}$. Радиус большой окружности $R$ равен сумме расстояния $OO_1$ и радиуса малой окружности $r$. $R = OO_1 + r = r\sqrt{2} + r$. Вынесем $r$ за скобки: $R = r(\sqrt{2} + 1)$. Выразим $r$ через $R$: $r = \frac{R}{\sqrt{2} + 1}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $r = R \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = R \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = R(\sqrt{2} - 1)$.

Ответ: $r = R(\sqrt{2} - 1)$.

4.13. Радиус поворота желез-ной дороги равен 5 км, а длина дуги поворота равна 400 м. На сколько градусов отклонилось направление дороги по сравнению с первоначальным направлением?

Для решения этой задачи нам нужно найти центральный угол дуги окружности, зная ее радиус и длину. Этот угол и будет равен углу отклонения направления дороги.

Представим поворот железной дороги как дугу окружности.

Дано:
Радиус поворота: $R = 5 \text{ км}$
Длина дуги поворота: $L = 400 \text{ м}$

Решение:

1. Прежде всего, приведем все величины к единой системе измерения. Переведем радиус из километров в метры:$R = 5 \text{ км} = 5 \times 1000 \text{ м} = 5000 \text{ м}$

2. Угол отклонения направления дороги равен центральному углу $ \alpha $, который соответствует дуге поворота. Длина дуги окружности $L$ связана с радиусом $R$ и центральным углом $ \alpha $ (выраженным в радианах) следующей формулой:$L = \alpha_{\text{рад}} \cdot R$

3. Выразим из этой формулы угол в радианах:$\alpha_{\text{рад}} = \frac{L}{R}$Подставим наши значения:$\alpha_{\text{рад}} = \frac{400 \text{ м}}{5000 \text{ м}} = \frac{4}{50} = \frac{2}{25} = 0.08 \text{ радиан}$

4. В задаче требуется найти угол в градусах. Для перевода радиан в градусы используем соотношение: $ \pi \text{ радиан} = 180^\circ $.Формула для перевода:$\alpha_{\text{град}} = \alpha_{\text{рад}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$

5. Подставим найденное значение угла в радианах в формулу для перевода в градусы:$\alpha_{\text{град}} = 0.08 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{14.4^\circ}{\pi}$

6. Теперь вычислим приближенное значение, используя $\pi \approx 3.14159$:$\alpha_{\text{град}} \approx \frac{14.4^\circ}{3.14159} \approx 4.5836^\circ$Округлим результат до сотых: $4.58^\circ$.

Ответ: направление дороги отклонилось примерно на $4.58^\circ$.

4.14. Фигура, ограниченная двумя концентрическими окружностями, называется кольцом, а разность радиусов данных окружностей – шириной этого кольца.

1) Выразите ширину кольца через длины окружностей.

2) Радиусы окружностей кольца равны 26 см и 10 см. Найдите длину наибольшего отрезка, который целиком можно поместить в данное кольцо.

1) Выразите ширину кольца через длины окружностей.

Пусть $R$ — радиус большей окружности, а $r$ — радиус меньшей окружности. Тогда длины этих окружностей равны $C_R = 2\pi R$ и $C_r = 2\pi r$ соответственно.

Ширина кольца $w$ по определению равна разности радиусов:

$w = R - r$

Выразим радиусы через длины окружностей:

$R = \frac{C_R}{2\pi}$

$r = \frac{C_r}{2\pi}$

Теперь подставим эти выражения в формулу для ширины кольца:

$w = \frac{C_R}{2\pi} - \frac{C_r}{2\pi} = \frac{C_R - C_r}{2\pi}$

Таким образом, ширина кольца равна разности длин его окружностей, деленной на $2\pi$.

Ответ: $w = \frac{C_R - C_r}{2\pi}$, где $w$ — ширина кольца, $C_R$ и $C_r$ — длины большей и меньшей окружностей соответственно.

2) Радиусы окружностей кольца равны 26 см и 10 см. Найдите длину наибольшего отрезка, который целиком можно поместить в данное кольцо.

Наибольший отрезок, который можно целиком поместить в кольцо, — это хорда большей окружности, которая касается меньшей окружности.

Пусть $R = 26$ см — радиус большей окружности, а $r = 10$ см — радиус меньшей окружности. Пусть центр обеих окружностей — точка $O$.

Рассмотрим хорду $AB$ большей окружности, которая касается меньшей окружности в точке $M$.

Отрезок $OA$ является радиусом большей окружности ($OA = R = 26$ см). Отрезок $OM$ является радиусом меньшей окружности и перпендикулярен касательной $AB$ ($OM = r = 10$ см).

Таким образом, треугольник $\triangle OMA$ является прямоугольным с гипотенузой $OA$ и катетами $OM$ и $AM$.

По теореме Пифагора:

$OA^2 = OM^2 + AM^2$

$R^2 = r^2 + AM^2$

Отсюда можем найти длину катета $AM$:

$AM^2 = R^2 - r^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576$

$AM = \sqrt{576} = 24$ см.

Радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, следовательно, точка $M$ является серединой хорды $AB$. Длина всей хорды $AB$ равна:

$AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 24 = 48$ см.

Ответ: 48 см.

4.15. Найдите длину окружности, вписанную в:

1) прямоугольный треугольник с катетом $a$ и противолежащим острым углом $\varphi$;

2) равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$;

3) ромб с диагоналями, равными $a$ и $b$.

1) Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $x, y$ и гипотенузой $z$. По условию, один из катетов равен $a$, а противолежащий ему острый угол равен $\phi$. Пусть $x=a$.
Тогда второй катет $y$ можно найти через тангенс угла $\phi$:
$\tan \phi = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{x}{y} = \frac{a}{y}$, откуда $y = \frac{a}{\tan \phi} = a \cot \phi$.
Гипотенузу $z$ найдем через синус угла $\phi$:
$\sin \phi = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{x}{z} = \frac{a}{z}$, откуда $z = \frac{a}{\sin \phi}$.
Радиус $r$ вписанной в прямоугольный треугольник окружности находится по формуле:
$r = \frac{x+y-z}{2}$
Подставим найденные выражения для сторон:
$r = \frac{a + a \cot \phi - \frac{a}{\sin \phi}}{2} = \frac{a}{2} \left(1 + \cot \phi - \frac{1}{\sin \phi}\right) = \frac{a}{2} \left(1 + \frac{\cos \phi}{\sin \phi} - \frac{1}{\sin \phi}\right) = \frac{a}{2} \frac{\sin \phi + \cos \phi - 1}{\sin \phi}$.
Длина вписанной окружности $L$ равна $2\pi r$:
$L = 2\pi \cdot \frac{a}{2} \frac{\sin \phi + \cos \phi - 1}{\sin \phi} = \pi a \frac{\sin \phi + \cos \phi - 1}{\sin \phi}$.
Ответ: $L = \pi a \frac{\sin \phi + \cos \phi - 1}{\sin \phi}$

2) Дан равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$. В таком треугольнике катеты равны, обозначим их $a$. Углы при гипотенузе равны $45^\circ$.
По теореме Пифагора:
$a^2 + a^2 = c^2 \implies 2a^2 = c^2 \implies a = \frac{c}{\sqrt{2}}$.
Радиус $r$ вписанной в прямоугольный треугольник окружности находится по формуле:
$r = \frac{\text{сумма катетов} - \text{гипотенуза}}{2} = \frac{a+a-c}{2} = \frac{2a-c}{2}$.
Подставим выражение для катета $a$:
$r = \frac{2 \cdot \frac{c}{\sqrt{2}} - c}{2} = \frac{\sqrt{2}c - c}{2} = \frac{c(\sqrt{2}-1)}{2}$.
Длина вписанной окружности $L$ равна $2\pi r$:
$L = 2\pi \cdot \frac{c(\sqrt{2}-1)}{2} = \pi c (\sqrt{2}-1)$.
Ответ: $L = \pi c (\sqrt{2}-1)$

3) Дан ромб с диагоналями $d_1 = a$ и $d_2 = b$. В любой ромб можно вписать окружность. Диаметр этой окружности равен высоте ромба $h$, а радиус $r = h/2$.
Площадь ромба $S$ можно вычислить двумя способами:
1. Через диагонали: $S = \frac{d_1 d_2}{2} = \frac{ab}{2}$.
2. Через сторону и высоту: $S = s \cdot h$.
Сторону ромба $s$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей (они являются катетами, а сторона ромба — гипотенузой):
$s^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{a^2+b^2}{4}$.
$s = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$.
Приравняем два выражения для площади, чтобы найти высоту $h$:
$\frac{ab}{2} = s \cdot h = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2} \cdot h$.
$h = \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
Радиус вписанной окружности $r = \frac{h}{2} = \frac{ab}{2\sqrt{a^2+b^2}}$.
Длина вписанной окружности $L$ равна $2\pi r$:
$L = 2\pi \cdot \frac{ab}{2\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{\pi ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
Ответ: $L = \frac{\pi ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$

4.16. Найдите длину дуги, по которой проходит конец минутной стрелки часов до совпадения с часовой стрелкой, начиная с 15.00 ч.

Для решения задачи определим угловые скорости движения часовой и минутной стрелок, их начальные положения в 15:00, а затем найдем время, через которое они совпадут.

Полный оборот стрелок составляет $2\pi$ радиан. Минутная стрелка совершает полный оборот за 60 минут, следовательно, её угловая скорость $ \omega_м = \frac{2\pi}{60} = \frac{\pi}{30} $ рад/мин. Часовая стрелка совершает полный оборот за 12 часов (720 минут), поэтому её угловая скорость $ \omega_ч = \frac{2\pi}{720} = \frac{\pi}{360} $ рад/мин.

В 15:00 (или 3:00) минутная стрелка находится на отметке '12', что соответствует углу $ \alpha_м(0) = 0 $ радиан, если отсчитывать от '12' по часовой стрелке. Часовая стрелка находится на отметке '3', что составляет четверть полного круга, то есть её начальный угол $ \alpha_ч(0) = \frac{1}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2} $ радиан.

Пусть $ t $ — время в минутах, прошедшее с 15:00. Угловое положение минутной стрелки в момент времени $ t $ будет $ \alpha_м(t) = \omega_м t = \frac{\pi t}{30} $. Положение часовой стрелки будет $ \alpha_ч(t) = \alpha_ч(0) + \omega_ч t = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi t}{360} $.

Стрелки совпадут, когда их угловые положения станут равными: $ \alpha_м(t) = \alpha_ч(t) $. Составим и решим уравнение:

$ \frac{\pi t}{30} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi t}{360} $

Сократив на $ \pi $, получим:

$ \frac{t}{30} = \frac{1}{2} + \frac{t}{360} $

$ \frac{t}{30} - \frac{t}{360} = \frac{1}{2} $

$ \frac{12t - t}{360} = \frac{1}{2} $

$ \frac{11t}{360} = \frac{1}{2} $

$ 11t = 180 \implies t = \frac{180}{11} $ минут.

За это время конец минутной стрелки пройдет дугу. Угол, на который повернется минутная стрелка, равен $ \phi_м = \omega_м \cdot t $.

$ \phi_м = \frac{\pi}{30} \cdot \frac{180}{11} = \frac{6\pi}{11} $ радиан.

Длина дуги $ L $ вычисляется по формуле $ L = \phi \cdot R $, где $ \phi $ — угол поворота в радианах, а $ R $ — радиус (длина стрелки). Поскольку длина минутной стрелки в условии не задана, выразим ответ через $ R $.

$ L = \frac{6\pi}{11} R $

Ответ: Длина дуги, по которой проходит конец минутной стрелки, равна $ \frac{6\pi}{11}R $, где $ R $ — длина минутной стрелки.