Страница 137 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.39. Общие хорды двух кругов соответствуют их дугам, равным $60^\circ$ и $120^\circ$. Найдите отношение площадей этих кругов.

Пусть имеется два круга. Обозначим радиус и площадь первого круга (в котором хорда стягивает дугу в $60^\circ$) как $R_1$ и $S_1$, а радиус и площадь второго круга (в котором та же хорда стягивает дугу в $120^\circ$) как $R_2$ и $S_2$. Длину общей хорды обозначим как $a$.

Длина хорды в круге связана с его радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$, который эта хорда стягивает, по формуле $a = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, которую он стягивает.

1. Найдем выражение для длины хорды в первом круге.

Для первого круга центральный угол $\alpha_1 = 60^\circ$. Радиус равен $R_1$.Длина хорды $a$ равна:$a = 2R_1 \sin(\frac{60^\circ}{2}) = 2R_1 \sin(30^\circ)$Поскольку $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:$a = 2R_1 \cdot \frac{1}{2} = R_1$.Это также можно увидеть, рассмотрев треугольник, образованный двумя радиусами и хордой. Этот треугольник является равнобедренным с углом при вершине $60^\circ$, а значит, и углы при основании равны $(180^\circ - 60^\circ)/2 = 60^\circ$. Следовательно, треугольник равносторонний, и $a = R_1$.

2. Найдем выражение для длины хорды во втором круге.

Для второго круга центральный угол $\alpha_2 = 120^\circ$. Радиус равен $R_2$.Длина хорды $a$ равна:$a = 2R_2 \sin(\frac{120^\circ}{2}) = 2R_2 \sin(60^\circ)$Поскольку $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:$a = 2R_2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R_2\sqrt{3}$.

Ниже приведена иллюстрация двух пересекающихся кругов и их общей хорды.

3. Найдем отношение радиусов.

Так как хорда является общей для двух кругов, ее длина $a$ в обоих случаях одинакова. Приравняем полученные выражения:$R_1 = R_2\sqrt{3}$Отсюда находим отношение радиусов:$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{3}$

4. Найдем отношение площадей кругов.

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Найдем отношение площади первого круга (с дугой $60^\circ$) к площади второго круга (с дугой $120^\circ$):$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi R_1^2}{\pi R_2^2} = (\frac{R_1}{R_2})^2$Подставим найденное отношение радиусов в эту формулу:$\frac{S_1}{S_2} = (\sqrt{3})^2 = 3$Таким образом, отношение площадей этих кругов равно 3. Это означает, что площадь первого круга в 3 раза больше площади второго.

Ответ: 3:1 (или 1:3, в зависимости от того, площадь какого круга брать за основу).