Страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Дайте определения вписанного и описанного многоугольников?

2. Какой угол называют вписанным?

3. Какая зависимость существует между вписанным углом и дугой, на которую он опирается (соответствующим центральным углом)? Сформулируйте и докажите соответствующее свойство.

4. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов вписанного четырехугольника.

5. Сформулируйте и докажите теорему об описанных четырехугольниках.

6. В какие параллелограммы можно вписать окружность?
Около каких параллелограммов можно описать окружность?

7. Какой вид имеет трапеция: 1) вписанная в окружность; 2) описанная около окружности?

1. Дайте определения вписанного и описанного многоугольников?

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Сама окружность при этом называется описанной около многоугольника.

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной в многоугольник.

Ответ: Даны определения вписанного и описанного многоугольников.

2. Какой угол называют вписанным?

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность (т.е. содержат хорды), называется вписанным углом.

Ответ: Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны содержат хорды этой окружности.

3. Какая зависимость существует между вписанным углом и дугой, на которую он опирается (соответствующим центральным углом)? Сформулируйте и докажите соответствующее свойство.

Теорема: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Это эквивалентно тому, что вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство:

Пусть $∠ABC$ — вписанный в окружность с центром $O$ угол. Возможны три случая расположения луча $BO$ относительно угла $ABC$.

Случай 1: Один из лучей, образующих угол, проходит через центр окружности. Пусть сторона $BC$ является диаметром.

Рассмотрим $\triangle AOB$. Он равнобедренный, так как $OA = OB$ как радиусы. Следовательно, $∠OAB = ∠OBA$. Угол $AOC$ — внешний угол $\triangle AOB$, поэтому $∠AOC = ∠OAB + ∠OBA = 2∠OBA = 2∠ABC$.
Центральный угол $∠AOC$ измеряется дугой $AC$, значит $∠ABC = \frac{1}{2} ∠AOC = \frac{1}{2} \cup AC$.

Случай 2: Центр окружности лежит внутри вписанного угла.

Проведем диаметр $BD$. Он делит угол $ABC$ на два угла: $∠ABD$ и $∠DBC$. Каждый из них рассматривается в первом случае.$∠ABD = \frac{1}{2} \cup AD$ и $∠DBC = \frac{1}{2} \cup DC$.Тогда $∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = \frac{1}{2} \cup AD + \frac{1}{2} \cup DC = \frac{1}{2} (\cup AD + \cup DC) = \frac{1}{2} \cup AC$.

Случай 3: Центр окружности лежит вне вписанного угла.

Проведем диаметр $BD$. Тогда $∠ABC = ∠DBC - ∠DBA$. Оба этих угла рассматриваются в первом случае.$∠DBC = \frac{1}{2} \cup DC$ и $∠DBA = \frac{1}{2} \cup DA$.Тогда $∠ABC = ∠DBC - ∠DBA = \frac{1}{2} \cup DC - \frac{1}{2} \cup DA = \frac{1}{2} (\cup DC - \cup DA) = \frac{1}{2} \cup AC$.Теорема доказана для всех случаев.

Ответ: Вписанный угол равен половине угловой меры дуги, на которую он опирается.

4. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов вписанного четырехугольника.

Теорема: Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника равна $180^\circ$.

Доказательство:

Пусть четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность.

Противоположные углы этого четырехугольника — $∠A$ и $∠C$, $∠B$ и $∠D$.
Угол $∠A$ — вписанный и опирается на дугу $BCD$. По теореме о вписанном угле, $∠A = \frac{1}{2} \cup BCD$.
Угол $∠C$ — вписанный и опирается на дугу $DAB$. По той же теореме, $∠C = \frac{1}{2} \cup DAB$.
Сложим эти углы: $∠A + ∠C = \frac{1}{2} \cup BCD + \frac{1}{2} \cup DAB = \frac{1}{2} (\cup BCD + \cup DAB)$.
Дуги $BCD$ и $DAB$ вместе составляют полную окружность, градусная мера которой равна $360^\circ$.
Следовательно, $∠A + ∠C = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$.
Аналогично доказывается, что $∠B + ∠D = 180^\circ$, так как они опираются на дуги $ADC$ и $ABC$, которые также в сумме дают $360^\circ$.

Ответ: Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^\circ$.

5. Сформулируйте и докажите теорему об описанных четырехугольниках.

Теорема (свойство описанного четырехугольника): Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Обратная теорема (признак описанного четырехугольника): Если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Доказательство свойства:

Пусть в четырехугольник $ABCD$ вписана окружность. Обозначим точки касания окружности со сторонами $AB, BC, CD, DA$ как $P, Q, R, S$ соответственно.

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных равны:$AP = AS$,$BP = BQ$,$CR = CQ$,$DR = DS$.

Рассмотрим суммы длин противоположных сторон четырехугольника:$AB + CD = (AP + PB) + (CR + RD)$$BC + DA = (BQ + QC) + (DS + SA)$

Используя равенства отрезков касательных, заменим слагаемые в первой сумме:$AB + CD = AS + BQ + CQ + DR$

Теперь сгруппируем слагаемые в полученном выражении так, чтобы получилась вторая сумма:$AB + CD = (BQ + CQ) + (AS + DR) = BC + AD$

Таким образом, мы доказали, что $AB + CD = BC + AD$.

Ответ: В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

6. В какие параллелограммы можно вписать окружность? Около каких параллелограммов можно описать окружность?

Вписать окружность:
В параллелограмме противоположные стороны равны: $AB=CD, BC=AD$.Условие вписанной окружности для четырехугольника: $AB+CD = BC+AD$.Подставим равенства сторон параллелограмма в это условие: $AB+AB = BC+BC$, что дает $2AB = 2BC$, и следовательно, $AB=BC$.Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. В частном случае, квадратом.

Описать окружность:
Условие описанной окружности для четырехугольника: сумма противоположных углов равна $180^\circ$. $∠A+∠C=180^\circ$ и $∠B+∠D=180^\circ$.В параллелограмме противоположные углы равны: $∠A=∠C, ∠B=∠D$.Подставим это в условие: $∠A+∠A=180^\circ$, что дает $2∠A=180^\circ$, и следовательно, $∠A=90^\circ$.Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, является прямоугольником. В частном случае, квадратом.

Ответ: Вписать окружность можно в ромб (и квадрат). Описать окружность можно около прямоугольника (и квадрата).

7. Какой вид имеет трапеция: 1) вписанная в окружность; 2) описанная около окружности?

1) Трапеция, вписанная в окружность:
Пусть трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана в окружность. По свойству вписанного четырехугольника, $∠A+∠C=180^\circ$.По свойству трапеции, углы при боковой стороне в сумме дают $180^\circ$, то есть $∠A+∠B=180^\circ$.Из этих двух равенств следует, что $∠C = ∠B$.Трапеция, у которой углы при одном из оснований равны, является равнобедренной (или равнобокой). Следовательно, вписать в окружность можно только равнобедренную трапецию.

2) Трапеция, описанная около окружности:
Пусть трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и боковыми сторонами $AB$ и $CD$ описана около окружности.По свойству описанного четырехугольника, суммы длин ее противоположных сторон равны: $AB+CD = BC+AD$.То есть, у такой трапеции сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований. Это является ее отличительным свойством. Специального названия, кроме как "описанная трапеция", для нее нет.

Ответ: 1) Трапеция, вписанная в окружность, является равнобедренной. 2) У трапеции, описанной около окружности, сумма оснований равна сумме боковых сторон.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

1. Постройте вписанную и описанную окружности, если даны:

1) равносторонний треугольник;

2) квадрат.

2. В данную окружность впишите трапецию и около нее опишите трапецию.

1) равносторонний треугольник

В равностороннем (правильном) треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Эта точка является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот треугольника.

Построение:1. Постройте произвольный равносторонний треугольник ABC.2. Проведите биссектрисы (или высоты, или медианы) двух любых углов треугольника. Точка их пересечения O будет центром обеих окружностей.3. Для построения описанной окружности измерьте циркулем расстояние от центра O до любой из вершин треугольника (например, OA). Это будет радиус описанной окружности $R$. Проведите окружность с центром в точке O и радиусом $R$.4. Для построения вписанной окружности опустите перпендикуляр из точки O на любую сторону треугольника. Расстояние от точки O до основания этого перпендикуляра будет радиусом вписанной окружности $r$. Проведите окружность с центром в точке O и радиусом $r$.Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной: $R = 2r$.

Ответ: Центр вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника находится в точке пересечения его биссектрис (медиан, высот). Радиус описанной окружности равен расстоянию от этого центра до вершины треугольника, а радиус вписанной — расстоянию от центра до стороны треугольника.

2) квадрат

У квадрата, как и у любого правильного многоугольника, центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Эта точка является точкой пересечения его диагоналей.

Построение:1. Постройте квадрат ABCD.2. Проведите его диагонали AC и BD. Точка их пересечения O будет центром обеих окружностей.3. Для построения описанной окружности измерьте циркулем расстояние от центра O до любой из вершин квадрата (например, OB). Это будет радиус описанной окружности $R$. Проведите окружность с центром в точке O и радиусом $R$. Радиус описанной окружности равен половине диагонали: $R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, где $a$ - сторона квадрата.4. Для построения вписанной окружности измерьте циркулем расстояние от центра O до середины любой стороны квадрата. Это будет радиус вписанной окружности $r$. Проведите окружность с центром в точке O и радиусом $r$. Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата: $r = \frac{a}{2}$.

Ответ: Центр вписанной и описанной окружностей квадрата находится в точке пересечения его диагоналей. Радиус описанной окружности равен половине диагонали, а радиус вписанной — половине стороны квадрата.

2. В данную окружность впишите трапецию и около нее опишите трапецию.

Эта задача состоит из двух частей: построение вписанной в окружность трапеции и построение описанной около окружности трапеции.

Вписать трапецию в окружность
В окружность можно вписать только равнобедренную трапецию.
Построение:1. В данной окружности проведите любой диаметр.2. Постройте две хорды, перпендикулярные этому диаметру, по разные стороны от центра (или по одну).3. Концы этих хорд являются вершинами равнобедренной трапеции. Соедините их последовательно.

Описать трапецию около окружности
Около окружности можно описать трапецию, у которой суммы длин противоположных сторон равны.
Построение:1. В данной окружности проведите диаметр.2. В концах диаметра постройте две касательные к окружности. Эти касательные будут параллельны друг другу и станут основаниями будущей трапеции.3. Проведите любую другую касательную к окружности, которая пересечет две первые.4. Проведите еще одну касательную (например, симметрично третьей относительно диаметра, перпендикулярного основаниям, чтобы получилась равнобедренная трапеция).5. Точки пересечения касательных образуют вершины описанной трапеции.

Ответ: Чтобы вписать трапецию в окружность, нужно построить две параллельные хорды и соединить их концы (получится равнобедренная трапеция). Чтобы описать трапецию около окружности, нужно построить две параллельные касательные (основания), а затем провести еще две непараллельные касательные, пересекающие первые две (боковые стороны).

4.40. Постройте квадрат:

1) вписанный в данную окружность;

2) описанный около данной окружности;

3) по радиусу описанной окружности;

4) по радиусу вписанной окружности.

1) вписанный в данную окружность

Анализ. Диагонали вписанного в окружность квадрата являются ее диаметрами. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, для построения вписанного квадрата достаточно построить два взаимно перпендикулярных диаметра, концы которых и будут вершинами квадрата.

Построение:
1. В данной окружности с центром в точке $O$ проведем произвольный диаметр $AC$.
2. Построим второй диаметр $BD$, перпендикулярный диаметру $AC$. Для этого можно построить серединный перпендикуляр к отрезку $AC$.
3. Последовательно соединим точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым квадратом.

Доказательство. По построению отрезки $AC$ и $BD$ являются диаметрами окружности, следовательно, $AC = BD$ и они делятся пополам в точке $O$. Также по построению $AC \perp BD$. Четырехугольник, диагонали которого равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, является квадратом. Так как все его вершины $A, B, C, D$ лежат на окружности, то квадрат $ABCD$ вписан в данную окружность.

Ответ: Квадрат $ABCD$ построен.

2) описанный около данной окружности

Анализ. Стороны описанного около окружности квадрата касаются окружности. Расстояние от центра окружности до каждой стороны равно радиусу $r$. Сторона квадрата равна диаметру окружности, то есть $a = 2r$. Стороны квадрата перпендикулярны друг другу.

Построение:
1. В данной окружности с центром в точке $O$ проведем два взаимно перпендикулярных диаметра $PQ$ и $RS$.
2. Через концы каждого диаметра (точки $P, Q, R, S$) проведем касательные к окружности. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
3. Точки пересечения этих четырех касательных образуют вершины искомого квадрата.

Доказательство. По построению, касательные, проведенные через концы диаметра $PQ$, параллельны между собой (обе перпендикулярны $PQ$). Аналогично, касательные через концы диаметра $RS$ параллельны. Расстояние между каждой парой параллельных касательных равно длине диаметра $2r$. Так как диаметры $PQ$ и $RS$ взаимно перпендикулярны, то смежные стороны построенного четырехугольника также перпендикулярны. Таким образом, полученный четырехугольник является квадратом со стороной $2r$. Каждая его сторона касается окружности по построению.

Ответ: Искомый квадрат построен.

3) по радиусу описанной окружности

Анализ. Радиус $R$ описанной окружности квадрата равен половине его диагонали. Построив окружность с данным радиусом $R$, мы сведем задачу к задаче (1) о построении квадрата, вписанного в данную окружность.

Построение:
1. Выберем на плоскости произвольную точку $O$ — центр будущей окружности.
2. С помощью циркуля построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным данному отрезку $R$.
3. Далее выполним построение, описанное в пункте (1): проведем два взаимно перпендикулярных диаметра $AC$ и $BD$.
4. Соединим последовательно точки $A, B, C, D$. Полученный квадрат $ABCD$ является искомым.

Доказательство. Построенный квадрат $ABCD$ вписан в окружность радиуса $R$. Следовательно, эта окружность является для него описанной, и ее радиус равен заданному.

Ответ: Квадрат $ABCD$ построен.

4) по радиусу вписанной окружности

Анализ. Радиус $r$ вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны. Следовательно, сторона квадрата $a$ равна двум радиусам вписанной окружности: $a = 2r$. Задача сводится к построению квадрата по известной стороне.

Построение:
1. Построим отрезок $AB$, длина которого равна $2r$. Для этого на прямой отложим с помощью циркуля дважды отрезок, равный данному радиусу $r$.
2. Из точки $A$ восстановим перпендикуляр к отрезку $AB$.
3. На этом перпендикуляре отложим отрезок $AD$, равный $AB$.
4. Из точек $B$ и $D$ проведем дуги окружностей с радиусом, равным $AB$. Точка их пересечения $C$ будет четвертой вершиной квадрата.
5. Соединим точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый квадрат.

Доказательство. По построению, $AB=AD=BC=DC=2r$, а угол $\angle DAB = 90^\circ$. Следовательно, $ABCD$ — квадрат со стороной $a = 2r$. Центр этого квадрата находится на расстоянии $a/2 = (2r)/2 = r$ от каждой из его сторон. Таким образом, окружность с радиусом $r$, вписанная в этот квадрат, имеет заданный радиус.

Ответ: Квадрат $ABCD$ построен.

4.41. Можно ли описать окружность около четырехугольника, если его углы, взятые в последовательном порядке, равны:

1) $90^\circ$, $90^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$;

2) $70^\circ$, $130^\circ$, $110^\circ$, $50^\circ$;

3) $45^\circ$, $75^\circ$, $135^\circ$, $105^\circ$?

Для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противолежащих углов равнялась $180^\circ$. Это свойство вписанного четырехугольника. Проверим это условие для каждого из заданных наборов углов.

Пусть углы четырехугольника, взятые в последовательном порядке, это $\angle A, \angle B, \angle C$ и $\angle D$. Условие возможности описать окружность выглядит так: $\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$. Достаточно проверить только одну пару противолежащих углов, так как если их сумма равна $180^\circ$, то и сумма другой пары будет равна $180^\circ$, поскольку сумма всех углов четырехугольника равна $360^\circ$.

1)

Даны углы $90^\circ, 90^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

Пусть $\angle A = 90^\circ, \angle B = 90^\circ, \angle C = 60^\circ, \angle D = 120^\circ$.

Найдем сумму первой пары противолежащих углов: $\angle A + \angle C = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$.

Так как $150^\circ \ne 180^\circ$, условие не выполняется.

Проверим вторую пару для полноты: $\angle B + \angle D = 90^\circ + 120^\circ = 210^\circ$. Эта сумма также не равна $180^\circ$.

Следовательно, около этого четырехугольника нельзя описать окружность.

Ответ: нельзя.

2)

Даны углы $70^\circ, 130^\circ, 110^\circ, 50^\circ$.

Пусть $\angle A = 70^\circ, \angle B = 130^\circ, \angle C = 110^\circ, \angle D = 50^\circ$.

Найдем сумму первой пары противолежащих углов: $\angle A + \angle C = 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ$.

Условие выполняется. Найдем сумму второй пары: $\angle B + \angle D = 130^\circ + 50^\circ = 180^\circ$.

Так как суммы противолежащих углов равны $180^\circ$, около этого четырехугольника можно описать окружность.

Ответ: можно.

3)

Даны углы $45^\circ, 75^\circ, 135^\circ, 105^\circ$.

Пусть $\angle A = 45^\circ, \angle B = 75^\circ, \angle C = 135^\circ, \angle D = 105^\circ$.

Найдем сумму первой пары противолежащих углов: $\angle A + \angle C = 45^\circ + 135^\circ = 180^\circ$.

Условие выполняется. Найдем сумму второй пары: $\angle B + \angle D = 75^\circ + 105^\circ = 180^\circ$.

Так как суммы противолежащих углов равны $180^\circ$, около этого четырехугольника можно описать окружность.

Ответ: можно.

4.42. Можно ли описать окружность около четырехугольника, углы которого, взятые в последовательном порядке, пропорциональны числам:

1) 2, 3, 4, 3;

2) 7, 2, 4, 5?

Окружность можно описать около четырехугольника тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Проверим это условие для каждого из предложенных случаев.

1) 2, 3, 4, 3

Пусть углы четырехугольника, взятые в последовательном порядке, равны $2x, 3x, 4x$ и $3x$. Сумма углов любого выпуклого четырехугольника составляет $360^\circ$.

Составим и решим уравнение, чтобы найти коэффициент пропорциональности $x$:

$2x + 3x + 4x + 3x = 360^\circ$

$12x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$

Теперь найдем величины углов четырехугольника:

Первый угол: $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$

Второй угол: $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$

Третий угол: $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$

Четвертый угол: $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$

Проверим суммы противолежащих углов. Противолежащими являются первый и третий углы, а также второй и четвертый.

Сумма первой пары противолежащих углов: $60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$.

Сумма второй пары противолежащих углов: $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Поскольку суммы противолежащих углов равны $180^\circ$, условие выполняется. Следовательно, около такого четырехугольника можно описать окружность.

Ответ: можно.

2) 7, 2, 4, 5

Пусть углы четырехугольника, взятые в последовательном порядке, равны $7x, 2x, 4x$ и $5x$. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$.

Составим и решим уравнение:

$7x + 2x + 4x + 5x = 360^\circ$

$18x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ$

Теперь найдем величины углов четырехугольника:

Первый угол: $7 \cdot 20^\circ = 140^\circ$

Второй угол: $2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$

Третий угол: $4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$

Четвертый угол: $5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$

Проверим сумму первой пары противолежащих углов (первого и третьего):

$140^\circ + 80^\circ = 220^\circ$

Так как $220^\circ \neq 180^\circ$, условие для описанной окружности не выполняется. Проверять вторую пару углов нет необходимости.

Следовательно, около такого четырехугольника нельзя описать окружность.

Ответ: нельзя.