Вопросы, страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Дайте определения вписанного и описанного многоугольников?

2. Какой угол называют вписанным?

3. Какая зависимость существует между вписанным углом и дугой, на которую он опирается (соответствующим центральным углом)? Сформулируйте и докажите соответствующее свойство.

4. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов вписанного четырехугольника.

5. Сформулируйте и докажите теорему об описанных четырехугольниках.

6. В какие параллелограммы можно вписать окружность?
Около каких параллелограммов можно описать окружность?

7. Какой вид имеет трапеция: 1) вписанная в окружность; 2) описанная около окружности?

1. Дайте определения вписанного и описанного многоугольников?

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Сама окружность при этом называется описанной около многоугольника.

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной в многоугольник.

Ответ: Даны определения вписанного и описанного многоугольников.

2. Какой угол называют вписанным?

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность (т.е. содержат хорды), называется вписанным углом.

Ответ: Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны содержат хорды этой окружности.

3. Какая зависимость существует между вписанным углом и дугой, на которую он опирается (соответствующим центральным углом)? Сформулируйте и докажите соответствующее свойство.

Теорема: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Это эквивалентно тому, что вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство:

Пусть $∠ABC$ — вписанный в окружность с центром $O$ угол. Возможны три случая расположения луча $BO$ относительно угла $ABC$.

Случай 1: Один из лучей, образующих угол, проходит через центр окружности. Пусть сторона $BC$ является диаметром.

Рассмотрим $\triangle AOB$. Он равнобедренный, так как $OA = OB$ как радиусы. Следовательно, $∠OAB = ∠OBA$. Угол $AOC$ — внешний угол $\triangle AOB$, поэтому $∠AOC = ∠OAB + ∠OBA = 2∠OBA = 2∠ABC$.
Центральный угол $∠AOC$ измеряется дугой $AC$, значит $∠ABC = \frac{1}{2} ∠AOC = \frac{1}{2} \cup AC$.

Случай 2: Центр окружности лежит внутри вписанного угла.

Проведем диаметр $BD$. Он делит угол $ABC$ на два угла: $∠ABD$ и $∠DBC$. Каждый из них рассматривается в первом случае.$∠ABD = \frac{1}{2} \cup AD$ и $∠DBC = \frac{1}{2} \cup DC$.Тогда $∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = \frac{1}{2} \cup AD + \frac{1}{2} \cup DC = \frac{1}{2} (\cup AD + \cup DC) = \frac{1}{2} \cup AC$.

Случай 3: Центр окружности лежит вне вписанного угла.

Проведем диаметр $BD$. Тогда $∠ABC = ∠DBC - ∠DBA$. Оба этих угла рассматриваются в первом случае.$∠DBC = \frac{1}{2} \cup DC$ и $∠DBA = \frac{1}{2} \cup DA$.Тогда $∠ABC = ∠DBC - ∠DBA = \frac{1}{2} \cup DC - \frac{1}{2} \cup DA = \frac{1}{2} (\cup DC - \cup DA) = \frac{1}{2} \cup AC$.Теорема доказана для всех случаев.

Ответ: Вписанный угол равен половине угловой меры дуги, на которую он опирается.

4. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов вписанного четырехугольника.

Теорема: Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника равна $180^\circ$.

Доказательство:

Пусть четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность.

Противоположные углы этого четырехугольника — $∠A$ и $∠C$, $∠B$ и $∠D$.
Угол $∠A$ — вписанный и опирается на дугу $BCD$. По теореме о вписанном угле, $∠A = \frac{1}{2} \cup BCD$.
Угол $∠C$ — вписанный и опирается на дугу $DAB$. По той же теореме, $∠C = \frac{1}{2} \cup DAB$.
Сложим эти углы: $∠A + ∠C = \frac{1}{2} \cup BCD + \frac{1}{2} \cup DAB = \frac{1}{2} (\cup BCD + \cup DAB)$.
Дуги $BCD$ и $DAB$ вместе составляют полную окружность, градусная мера которой равна $360^\circ$.
Следовательно, $∠A + ∠C = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$.
Аналогично доказывается, что $∠B + ∠D = 180^\circ$, так как они опираются на дуги $ADC$ и $ABC$, которые также в сумме дают $360^\circ$.

Ответ: Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^\circ$.

5. Сформулируйте и докажите теорему об описанных четырехугольниках.

Теорема (свойство описанного четырехугольника): Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Обратная теорема (признак описанного четырехугольника): Если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Доказательство свойства:

Пусть в четырехугольник $ABCD$ вписана окружность. Обозначим точки касания окружности со сторонами $AB, BC, CD, DA$ как $P, Q, R, S$ соответственно.

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных равны:$AP = AS$,$BP = BQ$,$CR = CQ$,$DR = DS$.

Рассмотрим суммы длин противоположных сторон четырехугольника:$AB + CD = (AP + PB) + (CR + RD)$$BC + DA = (BQ + QC) + (DS + SA)$

Используя равенства отрезков касательных, заменим слагаемые в первой сумме:$AB + CD = AS + BQ + CQ + DR$

Теперь сгруппируем слагаемые в полученном выражении так, чтобы получилась вторая сумма:$AB + CD = (BQ + CQ) + (AS + DR) = BC + AD$

Таким образом, мы доказали, что $AB + CD = BC + AD$.

Ответ: В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

6. В какие параллелограммы можно вписать окружность? Около каких параллелограммов можно описать окружность?

Вписать окружность:
В параллелограмме противоположные стороны равны: $AB=CD, BC=AD$.Условие вписанной окружности для четырехугольника: $AB+CD = BC+AD$.Подставим равенства сторон параллелограмма в это условие: $AB+AB = BC+BC$, что дает $2AB = 2BC$, и следовательно, $AB=BC$.Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. В частном случае, квадратом.

Описать окружность:
Условие описанной окружности для четырехугольника: сумма противоположных углов равна $180^\circ$. $∠A+∠C=180^\circ$ и $∠B+∠D=180^\circ$.В параллелограмме противоположные углы равны: $∠A=∠C, ∠B=∠D$.Подставим это в условие: $∠A+∠A=180^\circ$, что дает $2∠A=180^\circ$, и следовательно, $∠A=90^\circ$.Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, является прямоугольником. В частном случае, квадратом.

Ответ: Вписать окружность можно в ромб (и квадрат). Описать окружность можно около прямоугольника (и квадрата).

7. Какой вид имеет трапеция: 1) вписанная в окружность; 2) описанная около окружности?

1) Трапеция, вписанная в окружность:
Пусть трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана в окружность. По свойству вписанного четырехугольника, $∠A+∠C=180^\circ$.По свойству трапеции, углы при боковой стороне в сумме дают $180^\circ$, то есть $∠A+∠B=180^\circ$.Из этих двух равенств следует, что $∠C = ∠B$.Трапеция, у которой углы при одном из оснований равны, является равнобедренной (или равнобокой). Следовательно, вписать в окружность можно только равнобедренную трапецию.

2) Трапеция, описанная около окружности:
Пусть трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и боковыми сторонами $AB$ и $CD$ описана около окружности.По свойству описанного четырехугольника, суммы длин ее противоположных сторон равны: $AB+CD = BC+AD$.То есть, у такой трапеции сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований. Это является ее отличительным свойством. Специального названия, кроме как "описанная трапеция", для нее нет.

Ответ: 1) Трапеция, вписанная в окружность, является равнобедренной. 2) У трапеции, описанной около окружности, сумма оснований равна сумме боковых сторон.