Номер 4.44, страница 141 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.44. Можно ли вписать окружность в четырехугольник, стороны которого, взятые в последовательном порядке, пропорциональны числам:

1) $2, 2, 3, 3$;

2) $2, 5, 3, 4$;

3) $3, 5, 3, 1$?

Для того чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противолежащих сторон были равны. Это свойство известно как теорема Пито для описанного четырехугольника.

Пусть стороны четырехугольника, взятые в последовательном порядке, равны $a, b, c, d$. Тогда условие возможности вписать окружность имеет вид: $a + c = b + d$.

Поскольку стороны четырехугольника пропорциональны заданным числам $n_1, n_2, n_3, n_4$, их длины можно записать как $a = k \cdot n_1, b = k \cdot n_2, c = k \cdot n_3, d = k \cdot n_4$, где $k$ — некоторый положительный коэффициент пропорциональности. Условие $a + c = b + d$ тогда принимает вид $k \cdot n_1 + k \cdot n_3 = k \cdot n_2 + k \cdot n_4$. Сокращая обе части на $k > 0$, получаем эквивалентное условие для самих чисел: $n_1 + n_3 = n_2 + n_4$.

Проверим это условие для каждого случая. Также необходимо, чтобы четырехугольник с такими сторонами мог существовать, то есть длина наибольшей стороны должна быть меньше суммы длин трех остальных сторон.

1) Стороны пропорциональны числам 2, 2, 3, 3.

Пусть $n_1=2, n_2=2, n_3=3, n_4=3$. Проверим равенство сумм противолежащих сторон:$n_1 + n_3 = 2 + 3 = 5$$n_2 + n_4 = 2 + 3 = 5$Поскольку $5=5$, условие выполняется. Неравенство четырехугольника также выполняется, так как наибольшая сторона (пропорциональная 3) меньше суммы трех других (пропорциональных $2+2+3=7$). Следовательно, в такой четырехугольник можно вписать окружность.
Ответ: можно.

2) Стороны пропорциональны числам 2, 5, 3, 4.

Пусть $n_1=2, n_2=5, n_3=3, n_4=4$. Проверим равенство сумм противолежащих сторон:$n_1 + n_3 = 2 + 3 = 5$$n_2 + n_4 = 5 + 4 = 9$Поскольку $5 \neq 9$, условие не выполняется. Следовательно, в такой четырехугольник нельзя вписать окружность.
Ответ: нельзя.

3) Стороны пропорциональны числам 3, 5, 3, 1.

Пусть $n_1=3, n_2=5, n_3=3, n_4=1$. Проверим равенство сумм противолежащих сторон:$n_1 + n_3 = 3 + 3 = 6$$n_2 + n_4 = 5 + 1 = 6$Поскольку $6=6$, условие выполняется. Неравенство четырехугольника также выполняется, так как наибольшая сторона (пропорциональная 5) меньше суммы трех других (пропорциональных $3+3+1=7$). Следовательно, в такой четырехугольник можно вписать окружность.
Ответ: можно.