Номер 4.40, страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.40. Постройте квадрат:

1) вписанный в данную окружность;

2) описанный около данной окружности;

3) по радиусу описанной окружности;

4) по радиусу вписанной окружности.

1) вписанный в данную окружность

Анализ. Диагонали вписанного в окружность квадрата являются ее диаметрами. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, для построения вписанного квадрата достаточно построить два взаимно перпендикулярных диаметра, концы которых и будут вершинами квадрата.

Построение:
1. В данной окружности с центром в точке $O$ проведем произвольный диаметр $AC$.
2. Построим второй диаметр $BD$, перпендикулярный диаметру $AC$. Для этого можно построить серединный перпендикуляр к отрезку $AC$.
3. Последовательно соединим точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым квадратом.

Доказательство. По построению отрезки $AC$ и $BD$ являются диаметрами окружности, следовательно, $AC = BD$ и они делятся пополам в точке $O$. Также по построению $AC \perp BD$. Четырехугольник, диагонали которого равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, является квадратом. Так как все его вершины $A, B, C, D$ лежат на окружности, то квадрат $ABCD$ вписан в данную окружность.

Ответ: Квадрат $ABCD$ построен.

2) описанный около данной окружности

Анализ. Стороны описанного около окружности квадрата касаются окружности. Расстояние от центра окружности до каждой стороны равно радиусу $r$. Сторона квадрата равна диаметру окружности, то есть $a = 2r$. Стороны квадрата перпендикулярны друг другу.

Построение:
1. В данной окружности с центром в точке $O$ проведем два взаимно перпендикулярных диаметра $PQ$ и $RS$.
2. Через концы каждого диаметра (точки $P, Q, R, S$) проведем касательные к окружности. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
3. Точки пересечения этих четырех касательных образуют вершины искомого квадрата.

Доказательство. По построению, касательные, проведенные через концы диаметра $PQ$, параллельны между собой (обе перпендикулярны $PQ$). Аналогично, касательные через концы диаметра $RS$ параллельны. Расстояние между каждой парой параллельных касательных равно длине диаметра $2r$. Так как диаметры $PQ$ и $RS$ взаимно перпендикулярны, то смежные стороны построенного четырехугольника также перпендикулярны. Таким образом, полученный четырехугольник является квадратом со стороной $2r$. Каждая его сторона касается окружности по построению.

Ответ: Искомый квадрат построен.

3) по радиусу описанной окружности

Анализ. Радиус $R$ описанной окружности квадрата равен половине его диагонали. Построив окружность с данным радиусом $R$, мы сведем задачу к задаче (1) о построении квадрата, вписанного в данную окружность.

Построение:
1. Выберем на плоскости произвольную точку $O$ — центр будущей окружности.
2. С помощью циркуля построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным данному отрезку $R$.
3. Далее выполним построение, описанное в пункте (1): проведем два взаимно перпендикулярных диаметра $AC$ и $BD$.
4. Соединим последовательно точки $A, B, C, D$. Полученный квадрат $ABCD$ является искомым.

Доказательство. Построенный квадрат $ABCD$ вписан в окружность радиуса $R$. Следовательно, эта окружность является для него описанной, и ее радиус равен заданному.

Ответ: Квадрат $ABCD$ построен.

4) по радиусу вписанной окружности

Анализ. Радиус $r$ вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны. Следовательно, сторона квадрата $a$ равна двум радиусам вписанной окружности: $a = 2r$. Задача сводится к построению квадрата по известной стороне.

Построение:
1. Построим отрезок $AB$, длина которого равна $2r$. Для этого на прямой отложим с помощью циркуля дважды отрезок, равный данному радиусу $r$.
2. Из точки $A$ восстановим перпендикуляр к отрезку $AB$.
3. На этом перпендикуляре отложим отрезок $AD$, равный $AB$.
4. Из точек $B$ и $D$ проведем дуги окружностей с радиусом, равным $AB$. Точка их пересечения $C$ будет четвертой вершиной квадрата.
5. Соединим точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый квадрат.

Доказательство. По построению, $AB=AD=BC=DC=2r$, а угол $\angle DAB = 90^\circ$. Следовательно, $ABCD$ — квадрат со стороной $a = 2r$. Центр этого квадрата находится на расстоянии $a/2 = (2r)/2 = r$ от каждой из его сторон. Таким образом, окружность с радиусом $r$, вписанная в этот квадрат, имеет заданный радиус.

Ответ: Квадрат $ABCD$ построен.