Номер 4.37, страница 136 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.37. Постройте описанный около данной окружности правильный:

1) треугольник;

2) четырехугольник;

3) шестиугольник;

4) восьмиугольник.

1) треугольник;

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Для построения описанного около нее правильного треугольника выполним следующие действия.

1. Разделим окружность на три равные дуги. Для этого построим три радиуса $OT_1$, $OT_2$ и $OT_3$ так, чтобы углы между ними составляли $120^\circ$ (например, с помощью транспортира или построив три центральных угла по $120^\circ$). То есть, $\angle T_1OT_2 = \angle T_2OT_3 = \angle T_3OT_1 = 360^\circ / 3 = 120^\circ$. Точки $T_1$, $T_2$, $T_3$ будут точками касания сторон будущего треугольника.

2. В каждой из точек $T_1$, $T_2$ и $T_3$ построим касательную к окружности. Касательная в точке $T_i$ перпендикулярна радиусу $OT_i$. Это можно сделать, построив перпендикуляр к радиусу в его конечной точке на окружности.

3. Найдем точки пересечения построенных касательных. Эти три точки будут вершинами искомого правильного (равностороннего) треугольника.

Ответ:

2) четырехугольник;

Для построения описанного около данной окружности правильного четырехугольника (квадрата) выполним следующие шаги.

1. Проведем через центр окружности $O$ два взаимно перпендикулярных диаметра. Это можно сделать, проведя один произвольный диаметр, а затем построив его серединный перпендикуляр. Пусть концы диаметров на окружности — это точки $T_1, T_2, T_3, T_4$. Эти точки будут точками касания сторон квадрата.

2. В каждой из точек $T_1, T_2, T_3, T_4$ построим касательную к окружности. Каждая касательная будет перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания (а значит, и соответствующему диаметру).

3. Пересечение этих четырех касательных образует искомый квадрат.

Ответ:

3) шестиугольник;

Для построения описанного около данной окружности правильного шестиугольника выполним следующие действия.

1. Разделим окружность на шесть равных дуг. Для этого выберем на окружности произвольную точку $T_1$. Затем, начиная от $T_1$, отложим циркулем, раствор которого равен радиусу окружности $R$, шесть раз дуги по окружности. Получим шесть точек $T_1, T_2, T_3, T_4, T_5, T_6$. Центральный угол между соседними радиусами, проведенными в эти точки, будет равен $60^\circ$ ($360^\circ / 6 = 60^\circ$). Эти точки будут точками касания.

2. В каждой из шести точек $T_1, ..., T_6$ построим касательную к окружности (прямую, перпендикулярную радиусу в этой точке).

3. Точки пересечения соседних касательных образуют вершины искомого правильного шестиугольника.

Ответ:

4) восьмиугольник;

Для построения описанного около данной окружности правильного восьмиугольника выполним следующие действия.

1. Сначала разделим окружность на четыре равные части, как при построении квадрата. Проведем два взаимно перпендикулярных диаметра. Получим четыре точки $T_1, T_3, T_5, T_7$.

2. Затем разделим каждую из четырех прямых углов в центре окружности пополам (построим биссектрисы этих углов). Лучи биссектрис пересекут окружность еще в четырех точках: $T_2, T_4, T_6, T_8$. Таким образом, мы разделили окружность на восемь равных дуг. Центральный угол между соседними радиусами будет равен $45^\circ$ ($360^\circ / 8 = 45^\circ$).

3. В каждой из восьми полученных точек $T_1, ..., T_8$ построим касательную к окружности.

4. Пересечения этих восьми касательных образуют вершины искомого правильного восьмиугольника.

Ответ: