Номер 4.42, страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.42. Можно ли описать окружность около четырехугольника, углы которого, взятые в последовательном порядке, пропорциональны числам:

1) 2, 3, 4, 3;

2) 7, 2, 4, 5?

Окружность можно описать около четырехугольника тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Проверим это условие для каждого из предложенных случаев.

1) 2, 3, 4, 3

Пусть углы четырехугольника, взятые в последовательном порядке, равны $2x, 3x, 4x$ и $3x$. Сумма углов любого выпуклого четырехугольника составляет $360^\circ$.

Составим и решим уравнение, чтобы найти коэффициент пропорциональности $x$:

$2x + 3x + 4x + 3x = 360^\circ$

$12x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$

Теперь найдем величины углов четырехугольника:

Первый угол: $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$

Второй угол: $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$

Третий угол: $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$

Четвертый угол: $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$

Проверим суммы противолежащих углов. Противолежащими являются первый и третий углы, а также второй и четвертый.

Сумма первой пары противолежащих углов: $60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$.

Сумма второй пары противолежащих углов: $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Поскольку суммы противолежащих углов равны $180^\circ$, условие выполняется. Следовательно, около такого четырехугольника можно описать окружность.

Ответ: можно.

2) 7, 2, 4, 5

Пусть углы четырехугольника, взятые в последовательном порядке, равны $7x, 2x, 4x$ и $5x$. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$.

Составим и решим уравнение:

$7x + 2x + 4x + 5x = 360^\circ$

$18x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ$

Теперь найдем величины углов четырехугольника:

Первый угол: $7 \cdot 20^\circ = 140^\circ$

Второй угол: $2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$

Третий угол: $4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$

Четвертый угол: $5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$

Проверим сумму первой пары противолежащих углов (первого и третьего):

$140^\circ + 80^\circ = 220^\circ$

Так как $220^\circ \neq 180^\circ$, условие для описанной окружности не выполняется. Проверять вторую пару углов нет необходимости.

Следовательно, около такого четырехугольника нельзя описать окружность.

Ответ: нельзя.