Номер 4.43, страница 141 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.43. Докажите, что:

1) любая трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная;

2) любой параллелограмм, вписанный в окружность, есть прямоугольник;

3) любой ромб, вписанный в окружность, есть квадрат.

1)

Пусть в окружность вписана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По определению трапеции, её основания параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

Есть два способа доказать это утверждение:

Способ 1: Через дуги и хорды

По свойству окружности, дуги, заключенные между двумя параллельными хордами, равны. Так как хорды $AD$ и $BC$ параллельны, то дуги $AB$ и $CD$, стягиваемые боковыми сторонами трапеции, равны: $◡AB = ◡CD$.

Равные дуги стягиваются равными хордами. Следовательно, боковые стороны трапеции равны: $AB = CD$.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, по определению является равнобедренной.

Способ 2: Через углы

Поскольку трапеция $ABCD$ вписана в окружность, она является вписанным четырехугольником. Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$.

В то же время, по свойству трапеции, сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$, так как они являются односторонними внутренними углами при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущих $AB$ и $CD$. Таким образом, $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Сравнивая два равенства, $\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle A + \angle B = 180^\circ$, получаем, что $\angle C = \angle B$.

Трапеция, у которой углы при одном основании равны, является равнобедренной.

Ответ: любая трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная.

2)

Пусть в окружность вписан параллелограмм $ABCD$.

По свойству параллелограмма, его противолежащие углы равны: $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.

Поскольку параллелограмм $ABCD$ вписан в окружность, сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. То есть, $\angle A + \angle C = 180^\circ$.

Объединим эти два условия для углов $A$ и $C$: у нас есть система уравнений $\angle A = \angle C$ и $\angle A + \angle C = 180^\circ$.

Подставив первое уравнение во второе, получаем: $\angle A + \angle A = 180^\circ$, что дает $2\angle A = 180^\circ$, и, следовательно, $\angle A = 90^\circ$.

Так как $\angle C = \angle A$, то $\angle C = 90^\circ$. Аналогично для углов $B$ и $D$ из условий $\angle B = \angle D$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$ следует, что $\angle B = \angle D = 90^\circ$.

Параллелограмм, у которого все углы прямые ($90^\circ$), является прямоугольником.

Ответ: любой параллелограмм, вписанный в окружность, есть прямоугольник.

3)

Пусть в окружность вписан ромб $ABCD$.

По определению, ромб является параллелограммом. Из доказательства в пункте 2 мы знаем, что любой параллелограмм, вписанный в окружность, является прямоугольником. Следовательно, вписанный ромб $ABCD$ также должен быть прямоугольником.

Таким образом, фигура $ABCD$ обладает свойствами и ромба, и прямоугольника:

• Все стороны равны (свойство ромба).
• Все углы прямые (свойство прямоугольника).

Четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, по определению является квадратом.

Ответ: любой ромб, вписанный в окружность, есть квадрат.