Номер 4.46, страница 141 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.46. Постройте прямоугольник по радиусу описанной окружности и углу между диагоналями.

Задача состоит в построении прямоугольника по двум заданным элементам: отрезку, равному радиусу $R$ описанной окружности, и углу $α$, равному углу между диагоналями.

Анализ

Рассмотрим свойства прямоугольника, которые помогут в построении. Диагонали прямоугольника равны, в точке пересечения делятся пополам и являются диаметрами описанной около него окружности. Центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Пусть $ABCD$ — искомый прямоугольник, а $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда $O$ является центром описанной окружности, а отрезки $OA, OB, OC, OD$ равны ее радиусу $R$. Длина каждой диагонали равна $2R$. Угол между диагоналями — это, например, $∠AOB$ или $∠BOC$. Эти углы являются смежными, поэтому $∠AOB + ∠BOC = 180°$. Если один из них равен заданному углу $α$, то другой равен $180° - α$. Для построения можно выбрать любой из них.

Таким образом, задача сводится к построению двух диаметров окружности радиуса $R$, пересекающихся под углом $α$. Концы этих диаметров будут являться вершинами искомого прямоугольника.

Построение

Пусть нам даны отрезок длины $R$ и угол $α$.

1. Выберем на плоскости произвольную точку $O$, которая будет центром описанной окружности.

2. С помощью циркуля построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным данному отрезку $R$.

3. Проведем через точку $O$ произвольную прямую. Точки ее пересечения с окружностью обозначим $A$ и $C$. Отрезок $AC$ будет первой диагональю прямоугольника.

4. Построим вторую прямую, проходящую через точку $O$ и образующую с прямой $AC$ угол, равный данному углу $α$. Это можно сделать, отложив от луча $OC$ (или любого другого из четырех лучей $OA, OB, OC, OD$) угол $α$. Точки пересечения этой новой прямой с окружностью обозначим $B$ и $D$. Отрезок $BD$ будет второй диагональю.

5. Последовательно соединим отрезками точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником.

Доказательство

Построенный четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса $R$, так как все его вершины $A, B, C, D$ по построению лежат на этой окружности.

Диагонали $AC$ и $BD$ являются диаметрами этой окружности, так как они проходят через ее центр $O$. Следовательно, они равны по длине ($AC=BD=2R$) и в точке пересечения делятся пополам.

Угол между диагоналями $AC$ и $BD$ по построению равен $α$.

Любой четырехугольник, вписанный в окружность, диагонали которого являются ее диаметрами, есть прямоугольник. Это следует из того, что каждый угол такого четырехугольника (например, $∠ABC$) опирается на дугу, являющуюся полуокружностью (дуга $ADC$). Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, является прямым ($90°$). Так как все четыре угла четырехугольника $ABCD$ прямые, то $ABCD$ — прямоугольник.

Таким образом, построенный прямоугольник $ABCD$ имеет описанную окружность радиуса $R$ и угол между диагоналями $α$, то есть является искомым.

Ответ: Искомый прямоугольник строится следующим образом: сначала строится окружность заданного радиуса $R$, затем в ней проводятся два диаметра под заданным углом $α$ друг к другу. Концы этих диаметров, соединенные последовательно, образуют вершины искомого прямоугольника.