Номер 4.47, страница 141 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.47. Постройте ромб по стороне и радиусу вписанной окружности.

Анализ

Для построения ромба по заданной стороне $a$ и радиусу вписанной окружности $r$ воспользуемся следующими свойствами ромба:

1. Все стороны ромба равны $a$.

2. Высота ромба $h$, которая является расстоянием между его противолежащими параллельными сторонами, равна диаметру вписанной окружности. Таким образом, $h = 2r$.

Из этих свойств следует, что построение возможно только в том случае, если сторона ромба не меньше его высоты, то есть должно выполняться условие $a \ge h$, или $a \ge 2r$. Если это условие не выполняется ($a < 2r$), то построить такой ромб невозможно. В случае равенства $a = 2r$, высота ромба равна его стороне, что означает, что все углы прямые, и ромб является квадратом.

Построение

1. Построим две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$, расстояние между которыми равно высоте ромба $h=2r$. Для этого проведем произвольную прямую, восстановим к ней перпендикуляр, отложим на нем отрезок длиной $2r$ и через концы этого отрезка проведем две прямые, перпендикулярные ему.
2. На прямой $l_1$ выберем произвольную точку $A$. Это будет первая вершина ромба.
3. Из точки $A$ как из центра проведем дугу окружности радиусом $a$. Эта дуга пересечет прямую $l_2$ в некоторой точке $B$. Отрезок $AB$ будет одной из сторон ромба. (Если $a > 2r$, будет две точки пересечения; можно выбрать любую из них).
4. Теперь построим сторону, смежную со стороной $AB$. Вершина $D$ должна лежать на прямой $l_1$ на расстоянии $a$ от вершины $A$. Для этого из точки $A$ проведем дугу окружности радиусом $a$ до пересечения с прямой $l_1$. Одну из точек пересечения назовем $D$.
5. Для нахождения четвертой вершины $C$ отложим на прямой $l_2$ от точки $B$ отрезок $BC$, равный по длине и сонаправленный отрезку $AD$.
6. Соединим последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ и есть искомый ромб.

Доказательство

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$.

1. Точки $A$ и $D$ лежат на прямой $l_1$, а точки $B$ и $C$ — на прямой $l_2$. Так как $l_1 || l_2$, то стороны $AD$ и $BC$ параллельны.

2. По построению, длина отрезка $AD$ равна $a$. Длина и направление отрезка $BC$ были выбраны такими же, как у $AD$, следовательно, $BC=a$ и $BC || AD$. Четырехугольник, у которого две противолежащие стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Значит, $ABCD$ — параллелограмм.

3. В параллелограмме $ABCD$ смежные стороны $AB$ и $AD$ равны $a$ по построению. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом.

4. Сторона построенного ромба равна $a$. Его высота, как расстояние между параллельными прямыми $l_1$ и $l_2$, на которых лежат стороны $AD$ и $BC$, равна $2r$. Следовательно, радиус вписанной в него окружности равен $r$.

Таким образом, построенный четырехугольник $ABCD$ является ромбом с заданной стороной $a$ и радиусом вписанной окружности $r$.

Ответ: Алгоритм построения и его доказательство приведены выше. Построение основано на том факте, что высота ромба равна удвоенному радиусу вписанной в него окружности.