Номер 4.51, страница 141 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.51. Докажите, что около всякого прямоугольника можно описать окружность.

4.51. Чтобы доказать, что около любого прямоугольника можно описать окружность, нужно показать, что существует точка, равноудаленная от всех его четырех вершин. Эта точка будет являться центром описанной окружности.

Рассмотрим произвольный прямоугольник $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$.

По основному свойству прямоугольника, его диагонали равны между собой и в точке пересечения делятся пополам. Запишем это математически:

1. $AC = BD$ (диагонали равны).
2. $AO = OC = \frac{1}{2}AC$ и $BO = OD = \frac{1}{2}BD$ (диагонали делятся пополам в точке пересечения).

Из этих двух утверждений следует, что все четыре отрезка, соединяющие центр с вершинами, равны:$AO = OC = BO = OD$.

Это означает, что точка пересечения диагоналей $O$ находится на одинаковом расстоянии от всех четырех вершин прямоугольника ($A, B, C, D$). Следовательно, можно построить окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = AO$, которая будет проходить через все вершины прямоугольника.

Таким образом, доказано, что около всякого прямоугольника можно описать окружность.

Альтернативное доказательство:
Согласно теореме о вписанном четырехугольнике, около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.
В любом прямоугольнике все углы прямые, т.е. $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.
Найдем суммы противоположных углов:$\angle A + \angle C = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$
$\angle B + \angle D = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$
Так как условие теоремы выполняется, около любого прямоугольника можно описать окружность.

Ответ: Доказано.