Номер 4.57, страница 142 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.57. Окружность на сторонах выпуклого четырехугольника отсекает равные между собой хорды. Докажите, что суммы противоположных сторон этого четырехугольника равны.

Для доказательства утверждения воспользуемся свойствами окружности и понятием вписанной в четырехугольник окружности.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Некоторая окружность ω с центром в точке $O$ и радиусом $R$ пересекает прямые, содержащие стороны четырехугольника: $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$. По условию задачи, длины хорд, отсекаемых окружностью на этих прямых, равны между собой. Обозначим эту равную для всех сторон длину хорды как $l$.

1. В одной и той же окружности равные хорды равноудалены от ее центра. Расстояние $h$ от центра окружности до хорды длиной $l$ связано с радиусом $R$ соотношением, вытекающим из теоремы Пифагора: $h^2 + (l/2)^2 = R^2$. Отсюда $h = \sqrt{R^2 - (l/2)^2}$. Поскольку $R$ и $l$ одинаковы для всех четырех сторон четырехугольника, то и расстояния от центра $O$ до прямых, содержащих эти стороны, также равны. Обозначим это расстояние как $h$.

2. Таким образом, точка $O$ равноудалена от всех четырех прямых $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, есть биссектриса угла между ними. Так как четырехугольник $ABCD$ выпуклый, точка $O$, равноудаленная от всех его сторон, должна лежать внутри него и, следовательно, на биссектрисах всех его внутренних углов.

3. Точка пересечения биссектрис углов четырехугольника является центром вписанной в него окружности. Это означает, что в данный четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность (на рисунке обозначена как ω') с центром в точке $O$ и радиусом $r = h$.

4. Четырехугольник, в который можно вписать окружность, называется описанным или тангенциальным. Для таких четырехугольников справедлива теорема Пито, которая гласит: суммы длин противоположных сторон описанного четырехугольника равны.

5. Применяя теорему Пито к нашему четырехугольнику $ABCD$, получаем равенство:

$AB + CD = BC + DA$

Это и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из условия, что окружность отсекает на сторонах выпуклого четырехугольника равные хорды, следует, что центр этой окружности равноудален от прямых, содержащих стороны четырехугольника. Это означает, что в данный четырехугольник можно вписать окружность, а для любого описанного четырехугольника, согласно теореме Пито, суммы противоположных сторон равны.