Номер 4.61, страница 145 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.61. Хорда окружности, перпендикулярная диаметру, делит его на части, равные 24 см и 6 см. Найдите длину этой хорды.

Пусть в окружности с центром в точке O проведен диаметр AB и перпендикулярная ему хорда CD, которые пересекаются в точке M. По условию задачи, хорда делит диаметр на два отрезка. Пусть длины этих отрезков $AM = 24$ см и $MB = 6$ см.

1. Нахождение диаметра и радиуса окружности
Длина диаметра AB складывается из длин отрезков AM и MB:
$AB = AM + MB = 24 \text{ см} + 6 \text{ см} = 30 \text{ см}$.
Радиус R окружности равен половине диаметра:
$R = \frac{AB}{2} = \frac{30}{2} = 15 \text{ см}$.
Таким образом, отрезки OA и OB, являющиеся радиусами, равны 15 см.

2. Нахождение расстояния от центра до хорды
Точка M находится на диаметре AB. Расстояние от центра O до точки M (OM) можно найти, зная длину радиуса OB и отрезка MB:
$OM = OB - MB = 15 \text{ см} - 6 \text{ см} = 9 \text{ см}$.
(Аналогично, если бы $AM = 6$ см, то $OM = OA - AM = 15 - 6 = 9$ см).

3. Применение теоремы Пифагора
Рассмотрим треугольник OCM. Он является прямоугольным, так как хорда CD перпендикулярна диаметру AB по условию ($\angle OMC = 90^\circ$). В этом треугольнике:
- $OC$ — гипотенуза, равная радиусу окружности ($OC = R = 15$ см).
- $OM$ — катет, равный 9 см.
- $CM$ — второй катет, который является половиной искомой хорды CD (так как диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам).
По теореме Пифагора ($OC^2 = OM^2 + CM^2$), найдем длину катета CM (обозначим ее за $x$):
$15^2 = 9^2 + x^2$
$225 = 81 + x^2$
$x^2 = 225 - 81 = 144$
$x = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$.
Итак, половина хорды $CM = 12$ см.

4. Нахождение длины хорды
Полная длина хорды CD равна удвоенной длине ее половины CM:
$CD = 2 \cdot CM = 2 \cdot 12 \text{ см} = 24 \text{ см}$.

Ответ: 24 см.