Номер 4.56, страница 142 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.56. Докажите, что около четырехугольника, полученного при пересечении биссектрис внешних углов произвольного выпуклого четырехугольника, можно описать окружность.

Пусть дан произвольный выпуклый четырехугольник $ABCD$. Обозначим его внутренние углы при вершинах $A, B, C, D$ как $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ соответственно. Сумма внутренних углов четырехугольника равна $360^\circ$, то есть $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$.

Внешние углы четырехугольника при вершинах $A, B, C, D$ равны соответственно $180^\circ - \alpha$, $180^\circ - \beta$, $180^\circ - \gamma$ и $180^\circ - \delta$.

Рассмотрим четырехугольник $PQRS$, образованный пересечением биссектрис внешних углов четырехугольника $ABCD$. Пусть вершина $P$ является точкой пересечения биссектрис внешних углов при вершинах $A$ и $B$, вершина $Q$ — при $B$ и $C$, вершина $R$ — при $C$ и $D$, а вершина $S$ — при $D$ и $A$.

Для того, чтобы доказать, что около четырехугольника $PQRS$ можно описать окружность, необходимо показать, что сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Докажем, что $\angle P + \angle R = 180^\circ$.

Рассмотрим треугольник $APB$. Его углы при вершинах $A$ и $B$ являются половинами внешних углов четырехугольника $ABCD$.
$\angle PAB = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$
$\angle PBA = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$

Сумма углов в треугольнике $APB$ равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle APB + \angle PAB + \angle PBA = 180^\circ$
$\angle P + (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) + (90^\circ - \frac{\beta}{2}) = 180^\circ$
$\angle P + 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2} = 180^\circ$
$\angle P = \frac{\alpha + \beta}{2}$

Аналогично, рассмотрим треугольник $CRD$. Его углы при вершинах $C$ и $D$ являются половинами внешних углов четырехугольника $ABCD$.
$\angle RCD = \frac{180^\circ - \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}$
$\angle RDC = \frac{180^\circ - \delta}{2} = 90^\circ - \frac{\delta}{2}$

Сумма углов в треугольнике $CRD$ равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle CRD + \angle RCD + \angle RDC = 180^\circ$
$\angle R + (90^\circ - \frac{\gamma}{2}) + (90^\circ - \frac{\delta}{2}) = 180^\circ$
$\angle R + 180^\circ - \frac{\gamma + \delta}{2} = 180^\circ$
$\angle R = \frac{\gamma + \delta}{2}$

Теперь найдем сумму противолежащих углов $\angle P$ и $\angle R$ четырехугольника $PQRS$:
$\angle P + \angle R = \frac{\alpha + \beta}{2} + \frac{\gamma + \delta}{2} = \frac{\alpha + \beta + \gamma + \delta}{2}$

Так как сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника $ABCD$ равна $360^\circ$ ($\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$), то:
$\angle P + \angle R = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$

Поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника $PQRS$ равна $180^\circ$, около него можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма противолежащих углов четырехугольника, полученного при пересечении биссектрис внешних углов произвольного выпуклого четырехугольника, равна $180^\circ$, что является достаточным условием для того, чтобы около этого четырехугольника можно было описать окружность.