Практическая работа, страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

1. Постройте вписанную и описанную окружности, если даны:

1) равносторонний треугольник;

2) квадрат.

2. В данную окружность впишите трапецию и около нее опишите трапецию.

1) равносторонний треугольник

В равностороннем (правильном) треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Эта точка является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот треугольника.

Построение:1. Постройте произвольный равносторонний треугольник ABC.2. Проведите биссектрисы (или высоты, или медианы) двух любых углов треугольника. Точка их пересечения O будет центром обеих окружностей.3. Для построения описанной окружности измерьте циркулем расстояние от центра O до любой из вершин треугольника (например, OA). Это будет радиус описанной окружности $R$. Проведите окружность с центром в точке O и радиусом $R$.4. Для построения вписанной окружности опустите перпендикуляр из точки O на любую сторону треугольника. Расстояние от точки O до основания этого перпендикуляра будет радиусом вписанной окружности $r$. Проведите окружность с центром в точке O и радиусом $r$.Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной: $R = 2r$.

Ответ: Центр вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника находится в точке пересечения его биссектрис (медиан, высот). Радиус описанной окружности равен расстоянию от этого центра до вершины треугольника, а радиус вписанной — расстоянию от центра до стороны треугольника.

2) квадрат

У квадрата, как и у любого правильного многоугольника, центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Эта точка является точкой пересечения его диагоналей.

Построение:1. Постройте квадрат ABCD.2. Проведите его диагонали AC и BD. Точка их пересечения O будет центром обеих окружностей.3. Для построения описанной окружности измерьте циркулем расстояние от центра O до любой из вершин квадрата (например, OB). Это будет радиус описанной окружности $R$. Проведите окружность с центром в точке O и радиусом $R$. Радиус описанной окружности равен половине диагонали: $R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, где $a$ - сторона квадрата.4. Для построения вписанной окружности измерьте циркулем расстояние от центра O до середины любой стороны квадрата. Это будет радиус вписанной окружности $r$. Проведите окружность с центром в точке O и радиусом $r$. Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата: $r = \frac{a}{2}$.

Ответ: Центр вписанной и описанной окружностей квадрата находится в точке пересечения его диагоналей. Радиус описанной окружности равен половине диагонали, а радиус вписанной — половине стороны квадрата.

2. В данную окружность впишите трапецию и около нее опишите трапецию.

Эта задача состоит из двух частей: построение вписанной в окружность трапеции и построение описанной около окружности трапеции.

Вписать трапецию в окружность
В окружность можно вписать только равнобедренную трапецию.
Построение:1. В данной окружности проведите любой диаметр.2. Постройте две хорды, перпендикулярные этому диаметру, по разные стороны от центра (или по одну).3. Концы этих хорд являются вершинами равнобедренной трапеции. Соедините их последовательно.

Описать трапецию около окружности
Около окружности можно описать трапецию, у которой суммы длин противоположных сторон равны.
Построение:1. В данной окружности проведите диаметр.2. В концах диаметра постройте две касательные к окружности. Эти касательные будут параллельны друг другу и станут основаниями будущей трапеции.3. Проведите любую другую касательную к окружности, которая пересечет две первые.4. Проведите еще одну касательную (например, симметрично третьей относительно диаметра, перпендикулярного основаниям, чтобы получилась равнобедренная трапеция).5. Точки пересечения касательных образуют вершины описанной трапеции.

Ответ: Чтобы вписать трапецию в окружность, нужно построить две параллельные хорды и соединить их концы (получится равнобедренная трапеция). Чтобы описать трапецию около окружности, нужно построить две параллельные касательные (основания), а затем провести еще две непараллельные касательные, пересекающие первые две (боковые стороны).