Страница 136 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.31. В круг вписан прямоугольник со сторонами $16 \text{ см}$ и $12 \text{ см}$. Найдите площадь круга.

Пусть стороны вписанного прямоугольника равны $a = 16$ см и $b = 12$ см. Когда прямоугольник вписан в круг, его диагональ является диаметром этого круга. Это следует из того, что все углы прямоугольника прямые ($90^\circ$), а вписанный угол, равный $90^\circ$, всегда опирается на диаметр.

Сначала найдем длину диагонали $d$ прямоугольника. Стороны прямоугольника и его диагональ образуют прямоугольный треугольник, где стороны являются катетами, а диагональ — гипотенузой. Применим теорему Пифагора:
$d^2 = a^2 + b^2$
$d^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$
$d = \sqrt{400} = 20$ см.

Диаметр круга $D$ равен диагонали прямоугольника $d$, следовательно, $D = 20$ см.Радиус круга $R$ равен половине диаметра:
$R = \frac{D}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Теперь мы можем найти площадь круга $S$ по формуле $S = \pi R^2$. Подставим значение радиуса:
$S = \pi \cdot 10^2 = 100\pi$ см$^2$.
Ответ: $100\pi \text{ см}^2$.

4.32. Внутренний диаметр газовой трубы равен 1376 мм, а внешний – 1420 мм. Найдите площадь поперечного сечения трубы. Какое преимущество имеют трубы с большим диаметром при транспортировке газа на дальние расстояния?

Найдите площадь поперечного сечения трубы.
Площадь поперечного сечения трубы представляет собой площадь кольца, которая вычисляется как разность площадей внешнего и внутреннего кругов.
Формула площади круга: $S_{круга} = \pi R^2 = \frac{\pi d^2}{4}$, где $d$ – диаметр.
Площадь поперечного сечения трубы ($S_{сеч}$) равна:
$S_{сеч} = S_{внеш} - S_{внутр} = \frac{\pi D^2}{4} - \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi}{4}(D^2 - d^2)$
где $D$ – внешний диаметр, а $d$ – внутренний диаметр.
По условию задачи:
$D = 1420$ мм
$d = 1376$ мм
Для удобства вычислений используем формулу разности квадратов $D^2 - d^2 = (D-d)(D+d)$:
$D - d = 1420 - 1376 = 44$ мм
$D + d = 1420 + 1376 = 2796$ мм
Подставляем значения в формулу:
$S_{сеч} = \frac{\pi}{4}(44 \text{ мм} \times 2796 \text{ мм}) = \pi \times 11 \times 2796 \text{ мм}^2 = 30756\pi \text{ мм}^2$
Вычислим приближенное значение, взяв $\pi \approx 3.14159$:
$S_{сеч} \approx 30756 \times 3.14159 \approx 96623.5 \text{ мм}^2$
Также можно выразить эту площадь в квадратных сантиметрах: $96623.5 \text{ мм}^2 = 966.235 \text{ см}^2$.
Ответ: Площадь поперечного сечения трубы равна $30756\pi \text{ мм}^2$, что приблизительно составляет $96624 \text{ мм}^2$ или $966.24 \text{ см}^2$.

Какое преимущество имеют трубы с большим диаметром при транспортировке газа на дальние расстояния?
Трубы с большим диаметром имеют два ключевых преимущества при транспортировке газа на дальние расстояния:
1. Увеличение пропускной способности. Пропускная способность трубопровода (объем газа, который можно перекачать за единицу времени) прямо пропорциональна площади его внутреннего поперечного сечения ($S = \pi d^2 / 4$). Поскольку площадь зависит от квадрата диаметра, даже небольшое увеличение диаметра приводит к значительному росту пропускной способности. Это позволяет транспортировать большее количество газа без увеличения скорости потока.
2. Снижение потерь энергии на трение. При движении газа по трубе возникают потери давления из-за трения о стенки. Для компенсации этих потерь на магистральных газопроводах устанавливают компрессорные станции, которые сжимают газ, повышая его давление, и потребляют значительное количество энергии. Потери давления из-за трения обратно пропорциональны диаметру трубы в пятой степени ($\Delta P \sim 1/d^5$). Это означает, что увеличение диаметра трубы очень эффективно снижает гидравлическое сопротивление и, как следствие, потери энергии. Это позволяет сократить количество компрессорных станций на трассе и уменьшить эксплуатационные расходы на перекачку газа.
Ответ: Основные преимущества труб большого диаметра — это значительно более высокая пропускная способность и существенное снижение энергозатрат на транспортировку газа за счет уменьшения потерь давления на трение.

4.33. Определите площадь фигур, изображенных на рис.

4.11.

Фигура 1

Размер: $a$

Фигура 2

Размеры: $a$, $2a$

Фигура 3

Размер: $2a$

Рис. 4.11

а)

Заштрихованная фигура (криволинейный четырехлистник) находится внутри квадрата. Границы фигуры образованы четырьмя дугами окружностей, центры которых находятся в вершинах квадрата, а радиусы равны стороне квадрата.

Найдем сторону квадрата $s$. На рисунке указано расстояние от вершины квадрата до его центра, равное $a$. Это расстояние равно половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата $d$ связана с его стороной $s$ соотношением $d = s\sqrt{2}$.

Следовательно, $d = 2a$, откуда $s\sqrt{2} = 2a$.

$s = \frac{2a}{\sqrt{2}} = a\sqrt{2}$.

Площадь квадрата $S_{кв}$ равна:

$S_{кв} = s^2 = (a\sqrt{2})^2 = 2a^2$.

Площадь заштрихованной фигуры можно найти, вычитая из площади квадрата площади четырех незаштрихованных угловых областей. Расчет площади такой фигуры является известной, но достаточно сложной задачей, решаемой, например, с помощью принципа включения-исключения. Площадь такой фигуры выражается через площадь квадрата $s^2$ по формуле:

$S_a = s^2 \left(1 + \frac{\pi}{3} - \sqrt{3}\right)$.

Подставим в эту формулу выражение для $s^2$:

$S_a = 2a^2 \left(1 + \frac{\pi}{3} - \sqrt{3}\right)$.

Ответ: $S_a = 2a^2\left(1 + \frac{\pi}{3} - \sqrt{3}\right)$.

б)

Заштрихованная фигура представляет собой "стадион" (прямоугольник с двумя полукругами на торцах), из которого вырезаны два круга.

На рисунке имеются обозначения, которые, вероятно, содержат опечатку (диаметр левого круга и радиус правого обозначены одной буквой $a$). Будем считать, что радиусы обоих вырезанных кругов равны $a$.

Расстояние между центрами вырезанных кругов равно $2a$. Это означает, что эти круги касаются друг друга.

Внешняя фигура состоит из центрального прямоугольника и двух полукругов по бокам. Ширина прямоугольника равна диаметру полукругов. Из чертежа видно, что ширина заштрихованной полосы постоянна, что означает, что внешние полукруги имеют тот же центр, что и внутренние круги. Также можно предположить, что высота всей фигуры (расстояние между параллельными прямыми участками) равна диаметру вырезанного круга, то есть $2a$.

При таких предположениях радиус внешних полукругов также равен $a$.

Площадь внешней фигуры $S_{внеш}$ складывается из площади прямоугольника со сторонами $2a \times 2a$ и площади двух полукругов радиусом $a$ (что равно площади одного целого круга радиусом $a$):

$S_{внеш} = (2a) \cdot (2a) + \pi a^2 = 4a^2 + \pi a^2$.

Площадь двух вырезанных кругов $S_{внутр}$ равна:

$S_{внутр} = 2 \cdot (\pi a^2) = 2\pi a^2$.

Площадь заштрихованной фигуры $S_б$ равна разности этих площадей:

$S_б = S_{внеш} - S_{внутр} = (4a^2 + \pi a^2) - 2\pi a^2 = 4a^2 - \pi a^2 = a^2(4 - \pi)$.

Ответ: $S_б = a^2(4 - \pi)$.

в)

Заштрихованная фигура на рисунке представляет собой полукруг. Треугольник, изображенный сверху, является дополнительным элементом и не заштрихован, поэтому его площадь не учитывается.

Основание фигуры, которое является диаметром полукруга, равно $2a$.

Следовательно, радиус полукруга $r$ равен:

$r = \frac{2a}{2} = a$.

Площадь целого круга с радиусом $a$ вычисляется по формуле $\pi a^2$. Площадь полукруга составляет половину площади круга.

$S_в = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi a^2$.

Ответ: $S_в = \frac{1}{2}\pi a^2$.

4.34. Определите отношение площади сектора с центральным углом $60^\circ$ к площади вписанного в него круга.

Для решения задачи найдем площади сектора и вписанного в него круга, а затем определим их отношение.

1. Нахождение связи между радиусами.

Пусть $R$ — радиус сектора, а его центральный угол $\alpha = 60^\circ$. Пусть $r$ — радиус вписанного в сектор круга.

Вписанный круг касается двух радиусов сектора и его дуги. Центр вписанного круга (обозначим его $C$) всегда лежит на биссектрисе центрального угла сектора.

На рисунке $O$ — вершина сектора, $OA$ и $OB$ — его радиусы ($OA = R$). Линия $OC$ — биссектриса угла $\angle AOB$, поэтому угол $\angle AOC = \frac{1}{2}\alpha = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Проведем из центра вписанного круга $C$ перпендикуляр $CD$ к радиусу $OA$. Точка $D$ является точкой касания, и длина отрезка $CD$ равна радиусу вписанного круга $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ODC$. В нем гипотенуза — это отрезок $OC$, а катет $CD$ лежит напротив угла $\angle DOC = 30^\circ$. Из тригонометрии мы знаем, что $\sin(30^\circ) = \frac{CD}{OC}$.

Поскольку $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $\frac{1}{2} = \frac{r}{OC}$

Отсюда следует, что $OC = 2r$.

Вписанный круг также касается дуги сектора в точке $F$. Эта точка лежит на линии, соединяющей центры $O$ и $C$. Расстояние от вершины сектора $O$ до любой точки на дуге равно радиусу $R$. Таким образом, $OF = R$.

Длину отрезка $OF$ можно представить как сумму длин отрезков $OC$ и $CF$, где $CF$ — радиус вписанного круга, т.е. $CF = r$.

$R = OF = OC + CF = 2r + r = 3r$

Итак, мы установили, что радиус сектора в три раза больше радиуса вписанного в него круга: $R = 3r$.

2. Вычисление площадей и их отношения.

Площадь сектора ($S_{сектора}$) с углом $60^\circ$ составляет $\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$ от площади всего круга радиусом $R$: $S_{сектора} = \frac{1}{6} \pi R^2$

Площадь вписанного круга ($S_{круга}$) с радиусом $r$ вычисляется по формуле: $S_{круга} = \pi r^2$

Теперь найдем отношение площади сектора к площади вписанного круга: $\frac{S_{сектора}}{S_{круга}} = \frac{\frac{1}{6} \pi R^2}{\pi r^2} = \frac{R^2}{6r^2}$

Подставим в это выражение найденное соотношение $R = 3r$: $\frac{S_{сектора}}{S_{круга}} = \frac{(3r)^2}{6r^2} = \frac{9r^2}{6r^2} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

Таким образом, отношение площади сектора к площади вписанного в него круга равно $\frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

4.35. В правильный $n$-угольник со стороной $a$ вписана окружность и около него описана окружность. Покажите, что площадь кольца, ограниченного этими окружностями, зависит от $n$.

Для нахождения площади кольца, ограниченного вписанной и описанной окружностями правильного n-угольника, нам необходимо найти радиусы этих окружностей. Обозначим радиус описанной окружности как $R$ и радиус вписанной окружности как $r$. Площадь кольца $S$ вычисляется как разность площадей большого и малого кругов:

$S = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$

Рассмотрим правильный n-угольник со стороной $a$. Пусть $O$ — его центр, $A$ — одна из вершин, а $M$ — середина стороны, к которой эта вершина прилегает. Треугольник $OAM$ является прямоугольным. Его гипотенуза $OA$ — это радиус описанной окружности $R$, один катет $OM$ — это радиус вписанной окружности $r$ (апофема), а второй катет $AM$ — это половина стороны многоугольника, то есть $a/2$.

Визуализация этого треугольника представлена на рисунке:

По теореме Пифагора для треугольника $OAM$ имеем:

$OA^2 = OM^2 + AM^2$

$R^2 = r^2 + (a/2)^2$

Отсюда мы можем выразить разность квадратов радиусов:

$R^2 - r^2 = (a/2)^2 = a^2/4$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади кольца:

$S = \pi (R^2 - r^2) = \pi \frac{a^2}{4}$

Полученный результат показывает, что площадь кольца зависит только от длины стороны многоугольника $a$ и не зависит от числа его сторон $n$. Это противоречит условию задачи, в котором требуется показать, что площадь зависит от $n$.

Чтобы проанализировать это противоречие, выразим радиусы $R$ и $r$ через $a$ и $n$ напрямую. Центральный угол, стягиваемый одной стороной многоугольника, равен $2\pi/n$. Угол $\alpha$ в треугольнике $OAM$ при вершине $O$ ($\angle AOM$) равен половине этого угла, то есть $\alpha = \pi/n$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $OAM$ имеем:

$R = \frac{AM}{\sin(\alpha)} = \frac{a/2}{\sin(\pi/n)}$

$r = \frac{AM}{\tan(\alpha)} = \frac{a/2}{\tan(\pi/n)}$

Как видно из этих формул, и радиус описанной окружности $R$, и радиус вписанной окружности $r$ действительно зависят от $n$. Если подставить эти выражения в формулу для площади кольца, мы получим выражение, формально содержащее $n$:

$S = \pi \left( \left( \frac{a}{2\sin(\pi/n)} \right)^2 - \left( \frac{a}{2\tan(\pi/n)} \right)^2 \right) = \frac{\pi a^2}{4} \left( \frac{1}{\sin^2(\pi/n)} - \frac{1}{\tan^2(\pi/n)} \right)$

Однако, как было показано ранее с помощью теоремы Пифагора (и как следует из тригонометрических тождеств), это выражение упрощается, и зависимость от $n$ исчезает:

$\frac{1}{\sin^2(\pi/n)} - \frac{1}{\tan^2(\pi/n)} = \frac{1}{\sin^2(\pi/n)} - \frac{\cos^2(\pi/n)}{\sin^2(\pi/n)} = \frac{1 - \cos^2(\pi/n)}{\sin^2(\pi/n)} = \frac{\sin^2(\pi/n)}{\sin^2(\pi/n)} = 1$

Таким образом, несмотря на то, что радиусы $R$ и $r$ по отдельности зависят от $n$, площадь кольца $S = \pi a^2/4$ от $n$ не зависит. Условие задачи, по-видимому, содержит неточность или является задачей с подвохом.

Ответ: Площадь кольца, ограниченного вписанной и описанной окружностями, определяется формулой $S = \pi \frac{a^2}{4}$. Эта площадь зависит только от длины стороны правильного n-угольника $a$ и, вопреки условию, не зависит от количества его сторон $n$.

4.36. Даны две концентрические окружности и хорда большей окружности, касающаяся малой окружности. Покажите, что площадь круга, построенного на данной хорде как на диаметре, равна площади кольца, ограниченного данными концентрическими окружностями.

Для решения этой задачи введем обозначения и рассмотрим геометрическую конфигурацию.

Пусть $R$ — радиус большей окружности, а $r$ — радиус меньшей окружности. Так как окружности концентрические, у них общий центр, который мы обозначим как точка $O$.

Пусть $AB$ — хорда большей окружности, которая касается меньшей окружности в точке $C$.

1. Найдем площадь кольца.

Площадь кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями, равна разности площадей большего и меньшего кругов.

Площадь большего круга: $S_R = \pi R^2$.
Площадь меньшего круга: $S_r = \pi r^2$.
Площадь кольца: $S_{кольца} = S_R - S_r = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$.

2. Найдем площадь круга, построенного на хорде как на диаметре.

Пусть длина хорды $AB$ равна $L$. Диаметр нового круга равен $L$, следовательно, его радиус равен $L/2$.

Площадь этого круга: $S_{круга} = \pi (L/2)^2 = \frac{\pi L^2}{4}$.

Чтобы найти $L$, рассмотрим треугольник $OAC$. Так как $AB$ является касательной к меньшей окружности в точке $C$, радиус $OC$, проведенный в точку касания, перпендикулярен хорде $AB$. Следовательно, треугольник $OAC$ является прямоугольным с прямым углом $C$.

В этом треугольнике:
• гипотенуза $OA$ равна радиусу большей окружности, то есть $OA = R$;
• катет $OC$ равен радиусу меньшей окружности, то есть $OC = r$;
• катет $AC$ является половиной хорды $AB$ (так как в окружности радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам), то есть $AC = L/2$.

По теореме Пифагора для треугольника $OAC$:

$OA^2 = OC^2 + AC^2$

$R^2 = r^2 + (L/2)^2$

Выразим $(L/2)^2$:

$(L/2)^2 = R^2 - r^2$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади круга, построенного на хорде:

$S_{круга} = \pi (L/2)^2 = \pi(R^2 - r^2)$.

3. Сравнение площадей.

Мы получили, что площадь кольца $S_{кольца} = \pi(R^2 - r^2)$ и площадь круга, построенного на хорде, $S_{круга} = \pi(R^2 - r^2)$.

Следовательно, $S_{круга} = S_{кольца}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Площадь круга, построенного на данной хорде как на диаметре, равна $\pi(R^2 - r^2)$, и площадь кольца, ограниченного данными концентрическими окружностями, также равна $\pi(R^2 - r^2)$. Таким образом, их площади равны.

4.37. Постройте описанный около данной окружности правильный:

1) треугольник;

2) четырехугольник;

3) шестиугольник;

4) восьмиугольник.

1) треугольник;

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Для построения описанного около нее правильного треугольника выполним следующие действия.

1. Разделим окружность на три равные дуги. Для этого построим три радиуса $OT_1$, $OT_2$ и $OT_3$ так, чтобы углы между ними составляли $120^\circ$ (например, с помощью транспортира или построив три центральных угла по $120^\circ$). То есть, $\angle T_1OT_2 = \angle T_2OT_3 = \angle T_3OT_1 = 360^\circ / 3 = 120^\circ$. Точки $T_1$, $T_2$, $T_3$ будут точками касания сторон будущего треугольника.

2. В каждой из точек $T_1$, $T_2$ и $T_3$ построим касательную к окружности. Касательная в точке $T_i$ перпендикулярна радиусу $OT_i$. Это можно сделать, построив перпендикуляр к радиусу в его конечной точке на окружности.

3. Найдем точки пересечения построенных касательных. Эти три точки будут вершинами искомого правильного (равностороннего) треугольника.

Ответ:

2) четырехугольник;

Для построения описанного около данной окружности правильного четырехугольника (квадрата) выполним следующие шаги.

1. Проведем через центр окружности $O$ два взаимно перпендикулярных диаметра. Это можно сделать, проведя один произвольный диаметр, а затем построив его серединный перпендикуляр. Пусть концы диаметров на окружности — это точки $T_1, T_2, T_3, T_4$. Эти точки будут точками касания сторон квадрата.

2. В каждой из точек $T_1, T_2, T_3, T_4$ построим касательную к окружности. Каждая касательная будет перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания (а значит, и соответствующему диаметру).

3. Пересечение этих четырех касательных образует искомый квадрат.

Ответ:

3) шестиугольник;

Для построения описанного около данной окружности правильного шестиугольника выполним следующие действия.

1. Разделим окружность на шесть равных дуг. Для этого выберем на окружности произвольную точку $T_1$. Затем, начиная от $T_1$, отложим циркулем, раствор которого равен радиусу окружности $R$, шесть раз дуги по окружности. Получим шесть точек $T_1, T_2, T_3, T_4, T_5, T_6$. Центральный угол между соседними радиусами, проведенными в эти точки, будет равен $60^\circ$ ($360^\circ / 6 = 60^\circ$). Эти точки будут точками касания.

2. В каждой из шести точек $T_1, ..., T_6$ построим касательную к окружности (прямую, перпендикулярную радиусу в этой точке).

3. Точки пересечения соседних касательных образуют вершины искомого правильного шестиугольника.

Ответ:

4) восьмиугольник;

Для построения описанного около данной окружности правильного восьмиугольника выполним следующие действия.

1. Сначала разделим окружность на четыре равные части, как при построении квадрата. Проведем два взаимно перпендикулярных диаметра. Получим четыре точки $T_1, T_3, T_5, T_7$.

2. Затем разделим каждую из четырех прямых углов в центре окружности пополам (построим биссектрисы этих углов). Лучи биссектрис пересекут окружность еще в четырех точках: $T_2, T_4, T_6, T_8$. Таким образом, мы разделили окружность на восемь равных дуг. Центральный угол между соседними радиусами будет равен $45^\circ$ ($360^\circ / 8 = 45^\circ$).

3. В каждой из восьми полученных точек $T_1, ..., T_8$ построим касательную к окружности.

4. Пересечения этих восьми касательных образуют вершины искомого правильного восьмиугольника.

Ответ:

4.38. Бассейн наполняется двумя трубами радиусами $R$ и $r$. Эти трубы заменили одной трубой, пропускная способность которой равна пропускной способности двух труб. Каков диаметр новой трубы?

Пропускная способность трубы (объем жидкости, проходящий через сечение трубы в единицу времени) прямо пропорциональна площади ее поперечного сечения при условии одинаковой скорости потока. Будем считать, что скорость потока во всех трубах одинакова.

Площадь поперечного сечения первой трубы с радиусом $R$ вычисляется по формуле: $S_1 = \pi R^2$

Площадь поперечного сечения второй трубы с радиусом $r$: $S_2 = \pi r^2$

Общая пропускная способность двух труб пропорциональна сумме их площадей: $S_{общая} = S_1 + S_2 = \pi R^2 + \pi r^2 = \pi (R^2 + r^2)$

Новую трубу заменили так, что ее пропускная способность равна суммарной пропускной способности двух старых труб. Это означает, что площадь поперечного сечения новой трубы $S_{новая}$ должна быть равна общей площади двух старых труб.

Пусть радиус новой трубы будет $R_{новая}$. Тогда ее площадь сечения: $S_{новая} = \pi R_{новая}^2$

Приравниваем площади: $S_{новая} = S_{общая}$ $\pi R_{новая}^2 = \pi (R^2 + r^2)$

Сокращаем $\pi$ в обеих частях уравнения: $R_{новая}^2 = R^2 + r^2$

Отсюда находим радиус новой трубы: $R_{новая} = \sqrt{R^2 + r^2}$

В задаче спрашивается про диаметр новой трубы. Диаметр $D$ связан с радиусом $R$ соотношением $D = 2R$. Таким образом, диаметр новой трубы $D_{новая}$ будет равен: $D_{новая} = 2 \cdot R_{новая} = 2\sqrt{R^2 + r^2}$

Ответ: Диаметр новой трубы равен $2\sqrt{R^2 + r^2}$.