Страница 129 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как найти приближенное значение длины кривой? Что такое длина кривой?

2. Дайте определение длины окружности. Объясните, как вы это понимаете.

3. Докажите теорему о длине окружности.

4. С помощью какой формулы определяют длину окружности?

5. Напишите формулу для нахождения длины дуги окружности.

6. Что вы знаете о числе $\pi$?

7.

a) Как назвать зависимость между радиусом и длиной окружности?

б) Как изменится длина окружности, если ее радиус увеличить в два раза?

в) Как изменится радиус окружности, если ее длину увеличить на $b$ единиц?

г) Как изменится длина окружности, если ее радиус увеличить на величину $r$?

1. Для нахождения приближенного значения длины произвольной кривой ее заменяют ломаной линией, вершины которой лежат на этой кривой. Сумма длин звеньев этой ломаной линии является приближенным значением длины кривой. Точность приближения тем выше, чем больше количество звеньев ломаной и чем меньше их длина. Длина кривой — это предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломаной, когда длина наибольшего звена ломаной стремится к нулю.
Ответ: Приближенное значение длины кривой находят как сумму длин отрезков вписанной в нее ломаной. Длина кривой — это предел, к которому стремится эта сумма при неограниченном уменьшении длин звеньев ломаной.

2. Длиной окружности называется предел, к которому стремится периметр правильного вписанного в эту окружность многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон.
Я понимаю это так: если мы вписываем в окружность последовательно правильные многоугольники с все большим числом сторон (например, квадрат, затем восьмиугольник, затем шестнадцатиугольник и т.д.), то эти многоугольники будут все точнее и точнее прилегать к окружности. Их периметры будут увеличиваться, приближаясь к некоторому предельному значению. Это предельное значение и есть длина окружности.
Ответ: Длина окружности — это предел периметров вписанных в нее правильных многоугольников при бесконечном увеличении числа их сторон.

3.Теорема о длине окружности. Отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это постоянное число обозначают греческой буквой $\pi$ (пи).
Доказательство:
Рассмотрим две произвольные окружности: первую с центром $O_1$, радиусом $R_1$ и длиной $C_1$, и вторую с центром $O_2$, радиусом $R_2$ и длиной $C_2$.

Впишем в каждую из этих окружностей правильный $n$-угольник. Пусть $P_n^{(1)}$ и $P_n^{(2)}$ — их периметры, а $a_n^{(1)}$ и $a_n^{(2)}$ — длины их сторон. Тогда $P_n^{(1)} = n \cdot a_n^{(1)}$ и $P_n^{(2)} = n \cdot a_n^{(2)}$.
Правильные $n$-угольники подобны друг другу. Отношение их соответственных линейных размеров (например, сторон) равно отношению радиусов описанных около них окружностей:
$\frac{a_n^{(1)}}{a_n^{(2)}} = \frac{R_1}{R_2}$
Найдем отношение их периметров:
$\frac{P_n^{(1)}}{P_n^{(2)}} = \frac{n \cdot a_n^{(1)}}{n \cdot a_n^{(2)}} = \frac{a_n^{(1)}}{a_n^{(2)}} = \frac{R_1}{R_2}$
Из этой пропорции, используя свойство пропорции, получаем: $\frac{P_n^{(1)}}{R_1} = \frac{P_n^{(2)}}{R_2}$. Так как диаметр $D = 2R$, то можно записать: $\frac{P_n^{(1)}}{2R_1} = \frac{P_n^{(2)}}{2R_2}$.
Это равенство верно для любого числа сторон $n$. Согласно определению длины окружности, при неограниченном увеличении $n$ ($n \to \infty$) периметры $P_n^{(1)}$ и $P_n^{(2)}$ стремятся к длинам окружностей $C_1$ и $C_2$ соответственно. Переходя к пределу в полученном равенстве, имеем:
$\frac{C_1}{2R_1} = \frac{C_2}{2R_2}$
Это доказывает, что отношение длины окружности к ее диаметру является постоянной величиной для всех окружностей. Эту постоянную и обозначают $\pi$.
Ответ: Доказательство основано на подобии правильных n-угольников, вписанных в две разные окружности, и последующем предельном переходе при $n \to \infty$.

4. Длину окружности $C$ определяют по формуле, которая связывает ее с радиусом $R$ или диаметром $D$. Эта формула выводится из определения числа $\pi = \frac{C}{D}$.
Ответ: $C = 2\pi R$ или $C = \pi D$.

5. Длина дуги окружности пропорциональна ее градусной мере. Так как длина всей окружности (дуга в 360°) равна $2\pi R$, то длина дуги в 1° равна $\frac{2\pi R}{360} = \frac{\pi R}{180}$. Для дуги с градусной мерой $\alpha$ формула будет следующей:
Ответ: $l = \frac{\pi R \alpha}{180}$.

6. Число $\pi$ (пи) — это одна из самых важных математических констант.
1. По определению, это отношение длины любой окружности к ее диаметру.
2. $\pi$ — иррациональное число. Это значит, что его нельзя представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, а его десятичное представление является бесконечным и непериодическим ($\pi \approx 3,14159...$).
3. $\pi$ — трансцендентное число. Это значит, что оно не может быть корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами.
4. В практических вычислениях используют его приближенные значения, например, $3,14$ или дробь $\frac{22}{7}$.
Ответ: Это иррациональная и трансцендентная константа, равная отношению длины окружности к диаметру, приблизительно равная 3,14.

7. а) Зависимость между радиусом $R$ и длиной окружности $C$ задается формулой $C = (2\pi) \cdot R$. Так как $2\pi$ — это постоянный коэффициент, такая зависимость называется прямой пропорциональностью.
Ответ: Прямая пропорциональность.
б) Пусть начальная длина окружности $C_1 = 2\pi R_1$. Новый радиус $R_2 = 2R_1$. Тогда новая длина окружности $C_2 = 2\pi R_2 = 2\pi(2R_1) = 2 \cdot (2\pi R_1) = 2C_1$.
Ответ: Длина окружности увеличится в два раза.
в) Исходные соотношения: $C_1 = 2\pi R_1$, откуда $R_1 = \frac{C_1}{2\pi}$. Новая длина $C_2 = C_1 + b$. Новый радиус $R_2$ равен: $R_2 = \frac{C_2}{2\pi} = \frac{C_1 + b}{2\pi} = \frac{C_1}{2\pi} + \frac{b}{2\pi} = R_1 + \frac{b}{2\pi}$.
Ответ: Радиус увеличится на величину $\frac{b}{2\pi}$.
г) Исходная длина $C_1 = 2\pi R$. Новый радиус $R_{нов} = R + r$. Новая длина окружности $C_{нов}$ будет равна: $C_{нов} = 2\pi R_{нов} = 2\pi(R + r) = 2\pi R + 2\pi r = C_1 + 2\pi r$.
Ответ: Длина окружности увеличится на $2\pi r$.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Выберите некоторое тело цилиндрической формы, т.е. поперечным сечением которого является круг.

1) Обмотайте это тело нитью и измерьте длину одного полного мотка нити. Найдите по результатам измерения радиус поперечного сечения.

2) Измерьте диаметр поперечного сечения этого тела и найдите по формуле (2) длину окружности, ограничивающей поперечное сечение.

3) Сравните результаты длин окружностей поперечного сечения, полученные в заданиях 1 и 2. Сравните также числа $ \frac{C}{2R} $ и $ \pi $.

Для выполнения этой практической работы выберем в качестве тела цилиндрической формы обычный стеклянный стакан.

1)

Сначала проведем первое измерение. Обмотаем стакан нитью ровно один раз по его окружности. Затем развернем нить и измерим ее длину с помощью линейки. Эта длина будет равна длине окружности поперечного сечения стакана. Предположим, что в результате измерения мы получили значение длины окружности $C = 22.0 \text{ см}$.

Длина окружности $C$ и ее радиус $R$ связаны известной формулой $C = 2\pi R$. Из этой формулы мы можем выразить радиус:

$R = \frac{C}{2\pi}$

Подставим наше измеренное значение $C$ и будем использовать приближенное значение числа $\pi \approx 3.14$:

$R = \frac{22.0 \text{ см}}{2 \times 3.14} = \frac{22.0 \text{ см}}{6.28} \approx 3.50 \text{ см}$

Таким образом, радиус поперечного сечения стакана, найденный по измеренной длине окружности, составляет примерно $3.50$ см.

Ответ: радиус поперечного сечения, найденный по измеренной длине нити, равен $R \approx 3.50 \text{ см}$.

2)

Теперь проведем второе измерение. Возьмем линейку и измерим диаметр $d$ поперечного сечения нашего стакана. Предположим, что измерение дало результат $d = 7.0 \text{ см}$.

В задании требуется найти длину окружности по формуле (2). Обычно под такой формулой подразумевается связь длины окружности с ее диаметром: $C = \pi d$.

Вычислим длину окружности, используя измеренный диаметр и значение $\pi \approx 3.14$:

$C = 3.14 \times 7.0 \text{ см} = 21.98 \text{ см}$

Длина окружности, вычисленная по диаметру, составляет $21.98$ см.

Ответ: длина окружности, рассчитанная по измеренному диаметру, равна $C = 21.98 \text{ см}$.

3)

Сравним результаты, полученные в заданиях 1 и 2.
В первом задании мы получили длину окружности путем прямого измерения нитью: $C_1 = 22.0 \text{ см}$.
Во втором задании мы рассчитали длину окружности через измеренный диаметр: $C_2 = 21.98 \text{ см}$.
Эти два значения очень близки друг к другу. Разница составляет всего $22.0 - 21.98 = 0.02 \text{ см}$. Такое небольшое расхождение вполне допустимо и объясняется погрешностями, которые неизбежны при измерениях с помощью линейки и нити (например, толщина нити, неидеальное прилегание, неточность считывания показаний с линейки).

Теперь сравним числа $\frac{C}{2R}$ и $\pi$. Для этого отношения нужно использовать непосредственно измеренные величины: длину окружности $C$ из пункта 1 и диаметр $d=2R$ из пункта 2.

$\frac{C}{2R} = \frac{C}{d} = \frac{22.0 \text{ см}}{7.0 \text{ см}} \approx 3.1428...$

Сравним полученное значение с общепринятым значением числа $\pi \approx 3.14159...$. Наше экспериментально полученное значение $3.1428$ очень хорошо согласуется с теоретическим. Это подтверждает, что отношение длины окружности к ее диаметру является постоянной величиной, равной $\pi$.

Ответ: длины окружностей, полученные в заданиях 1 и 2 ($22.0 \text{ см}$ и $21.98 \text{ см}$), практически равны. Значение $\frac{C}{2R} \approx 3.1428$, полученное из измерений, очень близко к числу $\pi \approx 3.1416$.