Страница 132 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.17. Сравните длину большей полуокружности с суммой длин малых полуокружностей (рис. 4.6).

Рис. 4.6

Для решения этой задачи воспользуемся формулой длины полуокружности. Длина полуокружности $l$ с диаметром $d$ вычисляется по формуле:
$l = \frac{1}{2} \cdot \pi d$
Обозначим диаметр большой полуокружности как $D$. Тогда ее длина $L_{большая}$ будет равна:
$L_{большая} = \frac{1}{2} \pi D$
Пусть диаметры малых полуокружностей равны $d_1, d_2, d_3, \dots, d_n$. На рисунке изображено три малые полуокружности ($n=3$), но решение будет верным для любого их количества.
Из рисунка видно, что диаметр большой полуокружности равен сумме диаметров малых полуокружностей:
$D = d_1 + d_2 + d_3 + \dots + d_n$
Найдем сумму длин малых полуокружностей, которую обозначим как $L_{сумма}$. Длина каждой малой полуокружности $l_i$ равна $\frac{1}{2} \pi d_i$.
$L_{сумма} = l_1 + l_2 + l_3 + \dots + l_n = \frac{1}{2} \pi d_1 + \frac{1}{2} \pi d_2 + \frac{1}{2} \pi d_3 + \dots + \frac{1}{2} \pi d_n$
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2} \pi$ за скобки:
$L_{сумма} = \frac{1}{2} \pi (d_1 + d_2 + d_3 + \dots + d_n)$
Поскольку $D = d_1 + d_2 + d_3 + \dots + d_n$, мы можем подставить это выражение в формулу для $L_{сумма}$:
$L_{сумма} = \frac{1}{2} \pi D$
Теперь сравним длину большой полуокружности $L_{большая}$ и сумму длин малых полуокружностей $L_{сумма}$:
$L_{большая} = \frac{1}{2} \pi D$
$L_{сумма} = \frac{1}{2} \pi D$
Следовательно, $L_{большая} = L_{сумма}$.

Ответ: Длина большей полуокружности равна сумме длин малых полуокружностей.

4.18. Найдите длину кривой, выделенной жирной линией (рис. 4.7).

Рис. 4.7

1. Рассмотрим фигуру 1. Она представляет собой цветок с шестью лепестками, вписанный в окружность. Обозначим радиус этой окружности как $R$.

Фигура построена следующим образом. На окружности радиуса $R$ с центром в точке $O$ выбираются шесть точек $A_1, A_2, \dots, A_6$, которые являются вершинами правильного шестиугольника. Каждый лепесток, например, с вершиной в точке $A_1$, образован двумя дугами окружностей. Эти дуги соединяют центр $O$ и точку $A_1$. Центрами этих дуг являются соседние вершины шестиугольника, то есть $A_2$ и $A_6$.

Выделим один лепесток, например, с вершиной в $A_1$. Он состоит из двух дуг: дуги $OA_1$ с центром в $A_2$ и дуги $OA_1$ с центром в $A_6$. Рассмотрим треугольник $\triangle OA_1A_2$. Так как $O$ — центр описанной окружности, а $A_1$ и $A_2$ — соседние вершины правильного шестиугольника, то стороны этого треугольника равны радиусу окружности: $OA_1 = OA_2 = A_1A_2 = R$. Следовательно, треугольник $\triangle OA_1A_2$ является равносторонним, и все его углы равны $60^\circ$ или $\pi/3$ радиан.

Длина дуги окружности вычисляется по формуле $L = r \cdot \theta$, где $r$ — радиус дуги, а $\theta$ — центральный угол в радианах.

Для дуги $OA_1$ с центром в $A_2$ радиус равен $r = A_2O = R$, а центральный угол равен $\angle OA_2A_1 = 60^\circ = \pi/3$. Длина этой дуги: $L_{\text{дуги}} = R \cdot \frac{\pi}{3}$.

Весь выделенный контур состоит из 6 лепестков, каждый из которых состоит из 2 таких дуг. Таким образом, общая длина кривой равна длине 12 одинаковых дуг.

$L_{\text{общая}} = 12 \cdot L_{\text{дуги}} = 12 \cdot R \frac{\pi}{3} = 4\pi R$.

Ответ: $4\pi R$, где $R$ — радиус внешней окружности.

2. Рассмотрим фигуру 2. Она представляет собой криволинейный четырехугольник, вписанный в квадрат. Обозначим сторону квадрата как $a$.

Выделенная жирной линией фигура является границей пересечения четырех кругов. Каждый круг имеет радиус, равный стороне квадрата $a$, и его центр находится в одной из вершин квадрата.

Фигура симметрична и состоит из четырех одинаковых дуг. Найдем длину одной такой дуги и умножим ее на 4.

Рассмотрим дугу в правом верхнем углу фигуры. Ее центр находится в противоположной, то есть левой нижней, вершине квадрата. Радиус этой дуги равен стороне квадрата $a$.

Чтобы найти длину дуги, нам нужно определить ее центральный угол. Для этого найдем координаты ее конечных точек. Пусть вершины квадрата расположены в точках $D(0,0)$, $C(a,0)$, $B(a,a)$ и $A(0,a)$.

Вершины внутренней фигуры являются точками пересечения дуг, образующих ее границу. Правая верхняя вершина внутренней фигуры — это точка пересечения дуги с центром в $A(0,a)$ и дуги с центром в $D(0,0)$. Однако из геометрии фигуры видно, что дуги, образующие границу, имеют центры в противоположных вершинах. Правая верхняя дуга имеет центр в $D(0,0)$. Ее конечные точки — это верхняя и правая вершины фигуры.

Верхняя вершина фигуры — это точка пересечения дуг с центрами в $C(a,0)$ и $D(0,0)$. Их уравнения: $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ и $x^2 + y^2 = a^2$. Решая систему, получаем $x=a/2$ и $y=a\sqrt{3}/2$. Итак, верхняя вершина: $V_{\text{в}} = (a/2, a\sqrt{3}/2)$.

Правая вершина фигуры — это точка пересечения дуг с центрами в $D(0,0)$ и $A(0,a)$. Их уравнения: $x^2 + y^2 = a^2$ и $x^2 + (y-a)^2 = a^2$. Решая, получаем $x=a\sqrt{3}/2$ и $y=a/2$. Итак, правая вершина: $V_{\text{п}} = (a\sqrt{3}/2, a/2)$.

Теперь найдем центральный угол $\theta$ дуги $V_{\text{в}}V_{\text{п}}$, центр которой находится в точке $D(0,0)$. Угол между векторами $DV_{\text{в}}$ и $DV_{\text{п}}$ можно найти, определив углы, которые они образуют с осью Ox.

Для вектора $DV_{\text{в}} = (a/2, a\sqrt{3}/2)$ угол $\alpha_1$ с осью Ox определяется из $\cos \alpha_1 = \frac{a/2}{a} = 1/2$ и $\sin \alpha_1 = \frac{a\sqrt{3}/2}{a} = \sqrt{3}/2$. Следовательно, $\alpha_1 = 60^\circ$.

Для вектора $DV_{\text{п}} = (a\sqrt{3}/2, a/2)$ угол $\alpha_2$ с осью Ox определяется из $\cos \alpha_2 = \frac{a\sqrt{3}/2}{a} = \sqrt{3}/2$ и $\sin \alpha_2 = \frac{a/2}{a} = 1/2$. Следовательно, $\alpha_2 = 30^\circ$.

Центральный угол дуги $\theta = \alpha_1 - \alpha_2 = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$, что в радианах составляет $\pi/6$.

Длина одной дуги $L_{\text{дуги}} = r \cdot \theta = a \cdot \frac{\pi}{6}$.

Общая длина кривой состоит из четырех таких дуг: $L_{\text{общая}} = 4 \cdot L_{\text{дуги}} = 4 \cdot \frac{a\pi}{6} = \frac{2a\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi a}{3}$, где $a$ — сторона квадрата.

4.19. Точки A, B и C лежат на окружности радиусом R, а длина дуги ABC равна $0,5\pi R$. Под каким углом должен быть виден отрезок AC из точки D, лежащей на данной окружности?

Пусть $R$ — радиус окружности, а $O$ — её центр. Длина дуги окружности $L$ связана с её радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$ (выраженным в радианах), на который эта дуга опирается, следующей формулой:

$L = R \cdot \alpha$

По условию задачи, нам дана длина дуги $ABC$, которая равна $L_{ABC} = 0,5\pi R$. Эта дуга соединяет точки $A$ и $C$. Центральный угол $\angle AOC$, соответствующий этой дуге, можно найти из формулы:

$\alpha = \angle AOC = \frac{L_{ABC}}{R} = \frac{0,5\pi R}{R} = 0,5\pi$ радиан.

Для удобства дальнейших вычислений переведем эту величину в градусы, зная, что $\pi$ радиан равно $180^\circ$:

$\angle AOC = 0,5\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 90^\circ$.

Угол, под которым виден отрезок $AC$ из точки $D$, лежащей на окружности, является вписанным углом $\angle ADC$. Величина вписанного угла равна половине угловой меры дуги, на которую он опирается. Положение точки $D$ на окружности определяет, на какую из двух дуг, стягиваемых хордой $AC$, будет опираться угол $\angle ADC$.

Рассмотрим два возможных случая расположения точки $D$:

1. Точка D лежит на большей дуге AC (та, что не содержит точку B). В этом случае вписанный угол $\angle ADC$ опирается на меньшую дугу $AC$, угловая мера которой равна центральному углу $\angle AOC = 90^\circ$. Следовательно, величина угла $\angle ADC$ равна:

$\angle ADC = \frac{1}{2} \cdot \angle AOC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

2. Точка D (на рисунке обозначена как D') лежит на меньшей дуге AC (то есть на дуге $ABC$). В этом случае вписанный угол $\angle AD'C$ опирается на большую дугу $AC$. Угловая мера большей дуги равна разности полной окружности и меньшей дуги:

$360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$.

Следовательно, величина угла $\angle AD'C$ равна:

$\angle AD'C = \frac{1}{2} \cdot 270^\circ = 135^\circ$.

Таким образом, в зависимости от расположения точки $D$ на окружности, отрезок $AC$ может быть виден под двумя разными углами.

Ответ: Отрезок $AC$ может быть виден из точки $D$ под углом $45^\circ$ или $135^\circ$.

4.20. Спутник, вращающийся вокруг земного шара по окружности, пролетает за один оборот 42076 км. На каком расстоянии от поверхности Земли пролетает спутник, если ее радиус равен 6370 км?

Для решения этой задачи нам нужно найти расстояние от спутника до поверхности Земли, которое также называют высотой или альтитудой полета спутника. Обозначим это расстояние как $h$.

Из условия задачи нам известны:

• Длина одного оборота спутника вокруг Земли (длина орбиты): $C = 42076$ км.
• Радиус Земли: $R_З = 6370$ км.

Спутник вращается по круговой орбите. Длина этой орбиты является длиной окружности $C$. Радиус этой орбиты, $R_{орб}$, — это расстояние от центра Земли до спутника.

Схематично это можно представить так:

Из рисунка видно, что радиус орбиты спутника складывается из радиуса Земли и высоты полета спутника над поверхностью: $R_{орб} = R_З + h$.

1. Найдем радиус орбиты спутника ($R_{орб}$).

Длина окружности вычисляется по формуле $C = 2 \pi R$. В нашем случае, $C = 2 \pi R_{орб}$.

Выразим радиус орбиты из этой формулы:$R_{орб} = \frac{C}{2\pi}$

Подставим известные значения. В качестве значения $\pi$ будем использовать стандартное приближение $3.14$.

$R_{орб} = \frac{42076}{2 \times 3.14} = \frac{42076}{6.28} = 6700 \text{ км}$

Таким образом, радиус орбиты спутника составляет 6700 км.

2. Найдем расстояние от спутника до поверхности Земли ($h$).

Как мы установили ранее, $R_{орб} = R_З + h$.

Отсюда, высота полета спутника:$h = R_{орб} - R_З$

Подставим найденные и известные значения:

$h = 6700 \text{ км} - 6370 \text{ км} = 330 \text{ км}$

Спутник пролетает на расстоянии 330 км от поверхности Земли.

Ответ: 330 км.

4.21. Как построить правильный восьмиугольник по заданной стороне?

Для построения правильного восьмиугольника по заданной стороне с помощью циркуля и линейки можно использовать метод, основанный на нахождении центра описанной окружности. Правильный восьмиугольник имеет восемь равных сторон и восемь равных внутренних углов. Величина каждого внутреннего угла составляет $ ((8-2) \cdot 180^\circ) / 8 = 135^\circ $.

Пусть нам дан отрезок $AB$, который является одной из сторон будущего восьмиугольника. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Нахождение центра описанной окружности.

   Центр $O$ описанной окружности равноудален от всех вершин, в том числе от вершин $A$ и $B$. Следовательно, он лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Кроме того, треугольник $AOB$ является равнобедренным, а его углы при основании $AB$ равны половине внутреннего угла восьмиугольника: $ \angle OAB = \angle OBA = 135^\circ / 2 = 67.5^\circ $. Таким образом, центр $O$ является точкой пересечения серединного перпендикуляра к $AB$ и луча, выходящего из точки $A$ под углом $67.5^\circ$ к $AB$.

   Построение угла $67.5^\circ$ выполняется так: $67.5^\circ = 45^\circ + 22.5^\circ$.
   а) В точке $A$ с помощью циркуля и линейки строится перпендикуляр к отрезку $AB$ (угол $90^\circ$).
   б) Строится биссектриса этого угла $90^\circ$, что дает угол $45^\circ$.
   в) Затем строится биссектриса второго угла в $45^\circ$ (того, что находится между лучом $45^\circ$ и перпендикуляром). Это дает угол $22.5^\circ$.
   г) Луч, образующий с отрезком $AB$ угол $45^\circ + 22.5^\circ = 67.5^\circ$, указывает направление на центр $O$.

2. Построение описанной окружности.

   После нахождения точки $O$ (пересечение серединного перпендикуляра и луча под углом $67.5^\circ$), проводим окружность с центром $O$ и радиусом $R = OA$. Все вершины восьмиугольника будут лежать на этой окружности.

3. Нахождение остальных вершин.

   Раствор циркуля устанавливается равным длине исходной стороны $AB$. Начиная от точки $B$, последовательно откладываем на окружности хорды, равные $AB$. Так мы получаем остальные шесть вершин: $C, D, E, F, G, H$.

4. Завершение построения.

   Последовательно соединяем все восемь вершин отрезками: $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow E \rightarrow F \rightarrow G \rightarrow H \rightarrow A$. Полученная фигура $ABCDEFGH$ является искомым правильным восьмиугольником.

Ниже представлена иллюстрация этого процесса:

Ответ: Правильный восьмиугольник строится путем нахождения центра его описанной окружности, который лежит на пересечении серединного перпендикуляра к данной стороне $AB$ и луча, проведенного из одной из вершин (например, $A$) под углом $67.5^\circ$ к этой стороне. После нахождения центра и построения окружности остальные вершины откладываются на ней с помощью циркуля с шагом, равным длине данной стороны.