Номер 4.21, страница 132 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.21. Как построить правильный восьмиугольник по заданной стороне?

Для построения правильного восьмиугольника по заданной стороне с помощью циркуля и линейки можно использовать метод, основанный на нахождении центра описанной окружности. Правильный восьмиугольник имеет восемь равных сторон и восемь равных внутренних углов. Величина каждого внутреннего угла составляет $ ((8-2) \cdot 180^\circ) / 8 = 135^\circ $.

Пусть нам дан отрезок $AB$, который является одной из сторон будущего восьмиугольника. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Нахождение центра описанной окружности.

   Центр $O$ описанной окружности равноудален от всех вершин, в том числе от вершин $A$ и $B$. Следовательно, он лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Кроме того, треугольник $AOB$ является равнобедренным, а его углы при основании $AB$ равны половине внутреннего угла восьмиугольника: $ \angle OAB = \angle OBA = 135^\circ / 2 = 67.5^\circ $. Таким образом, центр $O$ является точкой пересечения серединного перпендикуляра к $AB$ и луча, выходящего из точки $A$ под углом $67.5^\circ$ к $AB$.

   Построение угла $67.5^\circ$ выполняется так: $67.5^\circ = 45^\circ + 22.5^\circ$.
   а) В точке $A$ с помощью циркуля и линейки строится перпендикуляр к отрезку $AB$ (угол $90^\circ$).
   б) Строится биссектриса этого угла $90^\circ$, что дает угол $45^\circ$.
   в) Затем строится биссектриса второго угла в $45^\circ$ (того, что находится между лучом $45^\circ$ и перпендикуляром). Это дает угол $22.5^\circ$.
   г) Луч, образующий с отрезком $AB$ угол $45^\circ + 22.5^\circ = 67.5^\circ$, указывает направление на центр $O$.

2. Построение описанной окружности.

   После нахождения точки $O$ (пересечение серединного перпендикуляра и луча под углом $67.5^\circ$), проводим окружность с центром $O$ и радиусом $R = OA$. Все вершины восьмиугольника будут лежать на этой окружности.

3. Нахождение остальных вершин.

   Раствор циркуля устанавливается равным длине исходной стороны $AB$. Начиная от точки $B$, последовательно откладываем на окружности хорды, равные $AB$. Так мы получаем остальные шесть вершин: $C, D, E, F, G, H$.

4. Завершение построения.

   Последовательно соединяем все восемь вершин отрезками: $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow E \rightarrow F \rightarrow G \rightarrow H \rightarrow A$. Полученная фигура $ABCDEFGH$ является искомым правильным восьмиугольником.

Ниже представлена иллюстрация этого процесса:

Ответ: Правильный восьмиугольник строится путем нахождения центра его описанной окружности, который лежит на пересечении серединного перпендикуляра к данной стороне $AB$ и луча, проведенного из одной из вершин (например, $A$) под углом $67.5^\circ$ к этой стороне. После нахождения центра и построения окружности остальные вершины откладываются на ней с помощью циркуля с шагом, равным длине данной стороны.