Страница 134 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое круг?

2. Как определяется площадь круга?

3. Напишите формулу площади правильного многоугольника.

4. Напишите формулу площади круга.

5. Как определяется площадь кругового сектора?

6. Как найти площадь сегмента?

1. Что такое круг?
Круг — это часть плоскости, которая состоит из всех точек, находящихся на расстоянии не более заданного от данной точки, называемой центром круга. Заданное расстояние называется радиусом круга. Граница круга называется окружностью. Таким образом, круг включает в себя окружность и все точки внутри неё.
Ответ: Круг — это плоская геометрическая фигура, ограниченная окружностью.

2. Как определяется площадь круга?
Площадь круга определяется как предел, к которому стремится площадь правильного n-угольника, вписанного в этот круг (или описанного около него), при неограниченном увеличении числа его сторон ($n \to \infty$). Чем больше сторон у вписанного многоугольника, тем меньше он отличается от круга, и его площадь все точнее приближается к площади круга. Площадь круга является общим пределом, к которому стремятся площади последовательностей вписанных и описанных правильных многоугольников.
Ответ: Площадь круга определяется как предел последовательности площадей вписанных (или описанных) в него правильных многоугольников при бесконечном увеличении числа сторон.

3. Напишите формулу площади правильного многоугольника.
Площадь $S$ правильного многоугольника можно вычислить, зная его периметр $P$ и апофему $r$ (радиус вписанной окружности). Апофема — это перпендикуляр, опущенный из центра многоугольника на одну из его сторон. Формула имеет вид:
$S = \frac{1}{2} P \cdot r$
где $P$ — периметр многоугольника ($P = n \cdot a$, где $n$ - число сторон, $a$ - длина стороны), а $r$ — его апофема.
Также площадь можно выразить через число сторон $n$ и радиус описанной окружности $R$:
$S = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$
Ответ: $S = \frac{1}{2} P \cdot r$

4. Напишите формулу площади круга.
Площадь круга $S$ вычисляется по формуле, связывающей её с радиусом $R$ круга. Эта формула является одной из фундаментальных в геометрии:
$S = \pi R^2$
где $R$ — радиус круга, а $\pi$ (пи) — математическая константа, приблизительно равная $3.14159$.
Если известен диаметр круга $D$, то, поскольку $D=2R$, формула может быть записана как:
$S = \frac{\pi D^2}{4}$
Ответ: $S = \pi R^2$

5. Как определяется площадь кругового сектора?
Круговой сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними. Площадь сектора пропорциональна его центральному углу. Она определяется как часть площади всего круга, соответствующая доле центрального угла сектора от полного угла в $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан).
Формула для вычисления площади сектора, если центральный угол $\alpha$ выражен в градусах:
$S_{сектора} = \frac{\pi R^2}{360^\circ} \cdot \alpha$
Если центральный угол $\theta$ выражен в радианах:
$S_{сектора} = \frac{1}{2} R^2 \theta$
где $R$ — радиус круга.
Ответ: Площадь кругового сектора определяется как произведение площади круга на отношение центрального угла сектора к полному углу ($360^\circ$).

6. Как найти площадь сегмента?
Круговой сегмент — это часть круга, ограниченная хордой и дугой окружности. Площадь сегмента находится как разность между площадью соответствующего ему кругового сектора и площадью треугольника, образованного радиусами и хордой, ограничивающей сегмент.
$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle}$
Площадь сектора равна $S_{сектора} = \frac{1}{2} R^2 \theta$ (где $\theta$ — центральный угол в радианах), а площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой, равна $S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\theta)$.
Таким образом, итоговая формула для площади сегмента:
$S_{сегмента} = \frac{1}{2} R^2 (\theta - \sin\theta)$
Если угол $\alpha$ задан в градусах, формула выглядит так:
$S_{сегмента} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} - \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)$
Ответ: Площадь сегмента находится вычитанием из площади соответствующего кругового сектора площади треугольника, сторонами которого являются два радиуса и хорда, стягивающая дугу сегмента.