Страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.64. В параллелограмме острый угол равен $\alpha$, а расстояния от точки пересечения диагоналей до неравных сторон равны $m$ и $n$. Найдите диагонали и площадь параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB=b$ и $AD=a$. Острый угол при вершине $A$ равен $\angle DAB = \alpha$. Точка $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Расстояние от точки $O$ до стороны $AD$ равно $m$, а до стороны $AB$ равно $n$.

Нахождение сторон и площади параллелограмма

Точка пересечения диагоналей $O$ является центром симметрии параллелограмма. Поэтому расстояние от этой точки до одной из сторон равно половине высоты, проведенной к этой стороне.
Пусть $h_a$ — высота, проведенная к стороне $AD=a$, а $h_b$ — высота, проведенная к стороне $AB=b$.
Тогда расстояние от $O$ до $AD$ равно $m = \frac{h_a}{2}$, откуда $h_a = 2m$.
Аналогично, расстояние от $O$ до $AB$ равно $n = \frac{h_b}{2}$, откуда $h_b = 2n$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной $AB=b$, высотой $h_a=2m$ и углом $\alpha$. В этом треугольнике $\sin\alpha = \frac{h_a}{b}$.
Отсюда находим сторону $b$:$b = \frac{h_a}{\sin\alpha} = \frac{2m}{\sin\alpha}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной $AD=a$, высотой $h_b=2n$ и углом $\alpha$. В этом треугольнике $\sin\alpha = \frac{h_b}{a}$.
Отсюда находим сторону $a$:$a = \frac{h_b}{\sin\alpha} = \frac{2n}{\sin\alpha}$.

Площадь параллелограмма $S$ можно найти по формуле $S = a \cdot h_a$.
Подставим найденные значения:$S = \left(\frac{2n}{\sin\alpha}\right) \cdot (2m) = \frac{4mn}{\sin\alpha}$.
Можно проверить по другой формуле $S = ab\sin\alpha$:$S = \left(\frac{2n}{\sin\alpha}\right) \left(\frac{2m}{\sin\alpha}\right) \sin\alpha = \frac{4mn}{\sin^2\alpha} \sin\alpha = \frac{4mn}{\sin\alpha}$.
Результаты совпадают.

Ответ: Площадь параллелограмма равна $S = \frac{4mn}{\sin\alpha}$.

Нахождение диагоналей параллелограмма

Для нахождения диагоналей $d_1$ и $d_2$ воспользуемся теоремой косинусов.Рассмотрим треугольник $ABD$. По теореме косинусов для диагонали $BD = d_2$:$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Угол $\angle ABC = 180^\circ - \alpha$. По теореме косинусов для диагонали $AC = d_1$:$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(180^\circ - \alpha) = a^2 + b^2 + 2ab\cos\alpha$.

Подставим ранее найденные выражения для сторон $a$ и $b$:$a = \frac{2n}{\sin\alpha}$ и $b = \frac{2m}{\sin\alpha}$.

Вычислим $a^2+b^2$ и $2ab\cos\alpha$:$a^2+b^2 = \left(\frac{2n}{\sin\alpha}\right)^2 + \left(\frac{2m}{\sin\alpha}\right)^2 = \frac{4n^2}{\sin^2\alpha} + \frac{4m^2}{\sin^2\alpha} = \frac{4(m^2+n^2)}{\sin^2\alpha}$.
$2ab\cos\alpha = 2 \cdot \frac{2n}{\sin\alpha} \cdot \frac{2m}{\sin\alpha} \cdot \cos\alpha = \frac{8mn\cos\alpha}{\sin^2\alpha}$.

Теперь подставим эти выражения в формулы для квадратов диагоналей:$d_1^2 = \frac{4(m^2+n^2)}{\sin^2\alpha} + \frac{8mn\cos\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{4}{\sin^2\alpha}(m^2 + n^2 + 2mn\cos\alpha)$.
$d_2^2 = \frac{4(m^2+n^2)}{\sin^2\alpha} - \frac{8mn\cos\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{4}{\sin^2\alpha}(m^2 + n^2 - 2mn\cos\alpha)$.

Извлекая квадратный корень (учитывая, что $\alpha$ — острый угол, $\sin\alpha > 0$), получаем длины диагоналей:$d_1 = \frac{2}{\sin\alpha}\sqrt{m^2 + n^2 + 2mn\cos\alpha}$.
$d_2 = \frac{2}{\sin\alpha}\sqrt{m^2 + n^2 - 2mn\cos\alpha}$.

Ответ: Диагонали параллелограмма равны $d_1 = \frac{2}{\sin\alpha}\sqrt{m^2 + n^2 + 2mn\cos\alpha}$ и $d_2 = \frac{2}{\sin\alpha}\sqrt{m^2 + n^2 - 2mn\cos\alpha}$.

3.65. В ромбе острый угол равен $\alpha$, а высота равна $h$. Найдите площадь ромба.

Для нахождения площади ромба $S$ можно использовать формулу произведения его стороны $a$ на высоту $h$: $S = a \cdot h$.В задаче даны высота $h$ и острый угол $\alpha$. Следовательно, нам нужно выразить сторону ромба $a$ через известные величины.

Рассмотрим ромб. Проведём высоту $h$ из вершины тупого угла к противолежащей стороне. Эта высота, сторона ромба $a$ и часть стороны, к которой проведена высота, образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике сторона ромба $a$ является гипотенузой, высота $h$ — катетом, а угол, противолежащий этому катету, — это острый угол ромба $\alpha$.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем:$ \sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{a} $

Выразим из этой формулы сторону ромба $a$:$ a = \frac{h}{\sin \alpha} $

Теперь подставим полученное выражение для стороны $a$ в формулу площади ромба:$ S = a \cdot h = \left(\frac{h}{\sin \alpha}\right) \cdot h = \frac{h^2}{\sin \alpha} $

Ответ: $S = \frac{h^2}{\sin \alpha}$.

3.66. Найдите площадь прямоугольника, в котором угол между диагоналями равен $45^\circ$, а диагональ равна $10\sqrt{2}$ см.

Для нахождения площади прямоугольника воспользуемся формулой площади выпуклого четырехугольника через его диагонали. Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$

В прямоугольнике диагонали равны, то есть $d_1 = d_2 = d$. Поэтому формула для площади прямоугольника принимает вид:

$S = \frac{1}{2} d^2 \sin\alpha$

где $d$ — длина диагонали, а $\alpha$ — угол между диагоналями.

По условию задачи, длина диагонали $d = 10\sqrt{2}$ см, а угол между диагоналями $\alpha = 45°$. Подставим эти значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} (10\sqrt{2})^2 \sin(45°)$

Выполним вычисления:

1. Возводим в квадрат длину диагонали: $(10\sqrt{2})^2 = 10^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 100 \cdot 2 = 200$.

2. Находим значение синуса угла: $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Подставляем полученные значения в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S = 100 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S = 50\sqrt{2}$

Таким образом, площадь прямоугольника составляет $50\sqrt{2}$ см².

Ответ: $50\sqrt{2}$ см².

3.67. В треугольнике $ABC$ проведены высоты $BD$ и $CE$. Найдите площадь треугольника, если $\angle A=60^\circ$, $BD=4 \text{ см}$, $CE=6 \text{ см}$.

Для нахождения площади треугольника $ABC$ воспользуемся данными о его высотах и угле $A$.
По условию, $BD$ и $CE$ — высоты треугольника $ABC$. Это означает, что $BD \perp AC$ и $CE \perp AB$. Таким образом, образуются два прямоугольных треугольника: $\triangle ADB$ с прямым углом $D$ и $\triangle AEC$ с прямым углом $E$. Оба этих треугольника содержат угол $A$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AEC$. В нем катет $CE$ является противолежащим углу $A$, а сторона $AC$ — гипотенузой. Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике имеем:
$\sin A = \frac{CE}{AC}$
Отсюда мы можем выразить длину стороны $AC$ через известные величины:
$AC = \frac{CE}{\sin A} = \frac{6}{\sin 60^\circ}$
Так как $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$AC = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADB$. В нем катет $BD$ является противолежащим углу $A$, а сторона $AB$ — гипотенузой. Аналогично, по определению синуса:
$\sin A = \frac{BD}{AB}$
Выразим сторону $AB$:
$AB = \frac{BD}{\sin A} = \frac{4}{\sin 60^\circ} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$ см.

Площадь треугольника ($S$) можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ — основание, а $h_a$ — высота, проведенная к этому основанию.Воспользуемся стороной $AC$ в качестве основания и высотой $BD$, проведенной к ней:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$
Подставим известные и вычисленные значения:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{\sqrt{3}} \cdot 4 = \frac{24}{\sqrt{3}}$ см².

Для получения окончательного ответа избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:
$S_{ABC} = \frac{24 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$ см².

Проверка: можно вычислить площадь, используя основание $AB$ и высоту $CE$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CE = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot 6 = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$ см². Результаты совпадают.

Ответ: $8\sqrt{3}$ см².

3.68. В треугольнике ABC проведена высота CD, равная 5 м. Найдите стороны треугольника, если $ \angle A=45^\circ, \angle B=30^\circ $.

Поскольку $CD$ — это высота, проведенная к стороне $AB$, то она образует с этой стороной прямые углы. Таким образом, треугольник $ABC$ разделяется высотой $CD$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle BDC$.

Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$. В нем известен катет $CD = 5$ м и прилежащий к нему угол $\angle A = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому $\angle ACD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Так как углы при гипотенузе $AC$ равны, треугольник $\triangle ADC$ является равнобедренным, следовательно, катет $AD$ равен катету $CD$: $AD = 5$ м.
Гипотенузу $AC$ найдем из соотношения для синуса угла $A$:
$AC = \frac{CD}{\sin A} = \frac{5}{\sin 45^\circ} = \frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$ м.

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BDC$. В нем известен катет $CD = 5$ м и противолежащий ему угол $\angle B = 30^\circ$.
Гипотенузу $BC$ найдем через синус угла $B$:
$BC = \frac{CD}{\sin B} = \frac{5}{\sin 30^\circ} = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 10$ м.
Катет $BD$ найдем через тангенс угла $B$:
$BD = \frac{CD}{\tan B} = \frac{5}{\tan 30^\circ} = \frac{5}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 5\sqrt{3}$ м.

Сторона $AB$ исходного треугольника равна сумме длин отрезков $AD$ и $BD$, так как углы $A$ и $B$ являются острыми, и, следовательно, основание высоты $D$ лежит между точками $A$ и $B$.
$AB = AD + BD = 5 + 5\sqrt{3} = 5(1 + \sqrt{3})$ м.

Ответ: $AC = 5\sqrt{2}$ м, $BC = 10$ м, $AB = 5(1 + \sqrt{3})$ м.

3.69. В равнобокой трапеции с боковой стороной $a$ и острым углом $\alpha$ меньшее основание равно боковой стороне. Найдите большее основание и площадь трапеции.

Рассмотрим равнобокую трапецию ABCD, где AD — большее основание, а BC — меньшее. По условию задачи, боковые стороны AB и CD равны $a$, меньшее основание BC также равно $a$, а острый угол при основании AD, например, $\angle BAD$, равен $\alpha$.

Большее основание

Для нахождения длины большего основания AD, проведем из вершин B и C высоты BH и CK на основание AD.
Фигура HBCK является прямоугольником, поскольку $BC \parallel AD$ и высоты $BH \perp AD$, $CK \perp AD$. Следовательно, длина отрезка $HK$ равна длине меньшего основания: $HK = BC = a$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. Катет AH, прилежащий к углу $\alpha$, можно найти через косинус:
$AH = AB \cdot \cos(\alpha) = a \cos(\alpha)$.
Так как трапеция равнобокая, то треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны. Отсюда следует, что $KD = AH = a \cos(\alpha)$.
Большее основание AD равно сумме длин отрезков: $AD = AH + HK + KD$.
Подставим найденные значения:
$AD = a \cos(\alpha) + a + a \cos(\alpha) = a + 2a \cos(\alpha)$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$AD = a(1 + 2\cos(\alpha))$.
Ответ: $a(1 + 2\cos(\alpha))$.

Площадь трапеции

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции.
Найдем высоту $h = BH$ из прямоугольного треугольника $\triangle ABH$. Катет BH, противолежащий углу $\alpha$, находится через синус:
$h = AB \cdot \sin(\alpha) = a \sin(\alpha)$.
Теперь подставим все известные величины в формулу площади:
$S = \frac{a + a(1 + 2\cos(\alpha))}{2} \cdot a \sin(\alpha)$.
Упростим выражение в числителе дроби:
$S = \frac{a + a + 2a\cos(\alpha)}{2} \cdot a \sin(\alpha) = \frac{2a + 2a\cos(\alpha)}{2} \cdot a \sin(\alpha)$.
Вынесем 2 за скобки и сократим дробь:
$S = \frac{2a(1 + \cos(\alpha))}{2} \cdot a \sin(\alpha) = a(1 + \cos(\alpha)) \cdot a \sin(\alpha)$.
Окончательно получаем:
$S = a^2 \sin(\alpha)(1 + \cos(\alpha))$.
Ответ: $a^2 \sin(\alpha)(1 + \cos(\alpha))$.

3.70. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а угол при основании равен $30^\circ$. Найдите радиусы описанной около треугольника и вписанной в треугольник окружностей.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По условию, длина основания $AC = 10$ см, а углы при основании $\angle BAC = \angle BCA = 30^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине $B$, противолежащий основанию, равен:

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Для наглядности изобразим данный треугольник и его высоту $BH$, проведенную к основанию.

Для нахождения радиуса описанной окружности $R$ воспользуемся обобщенной теоремой синусов: $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол.

Возьмем основание $AC = 10$ см и противолежащий ему угол $\angle ABC = 120^\circ$.

Подставим эти значения в формулу:

$R = \frac{AC}{2\sin(\angle ABC)} = \frac{10}{2\sin(120^\circ)}$

Значение синуса $120^\circ$ равно $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда радиус $R$ равен:

$R = \frac{10}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$R = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: Радиус описанной окружности равен $\frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.

Центр вписанной окружности (инцентр) является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. В равнобедренном треугольнике высота $BH$, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой. Следовательно, инцентр $I$ лежит на высоте $BH$. Радиус вписанной окружности $r$ равен длине перпендикуляра, опущенного из инцентра на любую сторону треугольника. Таким образом, $r$ равен длине отрезка $IH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $IHC$. Катет $HC$ является половиной основания $AC$, так как высота $BH$ является и медианой. $HC = \frac{10}{2} = 5$ см.

Угол $\angle ICH$ является половиной угла при основании $\angle BCA$, так как $CI$ — биссектриса этого угла. $\angle ICH = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $IHC$ тангенс угла $\angle ICH$ определяется как отношение противолежащего катета $IH$ к прилежащему катету $HC$:

$\tan(\angle ICH) = \frac{IH}{HC} \implies \tan(15^\circ) = \frac{r}{5}$

Отсюда $r = 5 \cdot \tan(15^\circ)$.

Найдем значение $\tan(15^\circ)$ с помощью формулы тангенса разности:

$\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan(30^\circ)}{1 + \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)}$

Подставим известные значения $\tan(45^\circ)=1$ и $\tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}}$:

$\tan(15^\circ) = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(\sqrt{3}-1)$, чтобы избавиться от иррациональности:

$\tan(15^\circ) = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.

Теперь вычислим радиус $r$:

$r = 5 \cdot (2 - \sqrt{3}) = 10 - 5\sqrt{3}$ см.

Ответ: Радиус вписанной окружности равен $10 - 5\sqrt{3}$ см.

3.71. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен $\alpha$. Найдите отношение радиусов описанной около треугольника и вписанной в треугольник окружностей.

Пусть дан равнобедренный треугольник с углами при основании $\alpha$. Тогда угол при вершине, противолежащий основанию, равен $\pi - 2\alpha$. Обозначим радиус описанной окружности как $R$ и радиус вписанной окружности как $r$.

Для нахождения отношения радиусов $\frac{R}{r}$ воспользуемся общей формулой для любого треугольника, связывающей радиус вписанной окружности $r$, радиус описанной окружности $R$ и углы треугольника $A, B, C$:

$r = 4R \sin\frac{A}{2} \sin\frac{B}{2} \sin\frac{C}{2}$

В нашем случае углы треугольника равны $A = \alpha$, $C = \alpha$ и $B = \pi - 2\alpha$. Половинные углы соответственно равны:

$\frac{A}{2} = \frac{\alpha}{2}$

$\frac{C}{2} = \frac{\alpha}{2}$

$\frac{B}{2} = \frac{\pi - 2\alpha}{2} = \frac{\pi}{2} - \alpha$

Подставим эти значения в формулу. Учтем, что $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$.

$r = 4R \sin\frac{\alpha}{2} \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) \sin\frac{\alpha}{2} = 4R \sin^2\frac{\alpha}{2} \cos\alpha$

Из полученного соотношения выразим искомое отношение $\frac{R}{r}$:

$\frac{r}{R} = 4 \sin^2\frac{\alpha}{2} \cos\alpha$

$\frac{R}{r} = \frac{1}{4 \sin^2\frac{\alpha}{2} \cos\alpha}$

Это выражение можно также преобразовать, используя формулу понижения степени $2\sin^2\frac{\alpha}{2} = 1 - \cos\alpha$:

$\frac{R}{r} = \frac{1}{2(1 - \cos\alpha)\cos\alpha}$

Оба вида ответа являются верными. Для существования треугольника необходимо, чтобы $2\alpha < \pi$, то есть $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{4 \sin^2(\alpha/2) \cos\alpha}$

3.72. Найдите третью сторону треугольника, если две стороны его равны $m$ и $n$, а площадь равна $0,3mn$.

Пусть две известные стороны треугольника равны $a=m$ и $b=n$, а угол между ними равен $\alpha$. Третью сторону обозначим как $c$.

Площадь треугольника $S$ может быть вычислена по формуле, использующей две стороны и синус угла между ними:$S = \frac{1}{2}ab\sin(\alpha) = \frac{1}{2}mn\sin(\alpha)$.

По условию задачи, площадь равна $S = 0.3mn$. Приравняем два выражения для площади:$ \frac{1}{2}mn\sin(\alpha) = 0.3mn $

Разделив обе части уравнения на $mn$ (так как длины сторон не могут быть нулевыми) и умножив на 2, получим значение синуса угла $\alpha$:$ \sin(\alpha) = 2 \cdot 0.3 = 0.6 $

Для нахождения третьей стороны $c$ воспользуемся теоремой косинусов:$ c^2 = m^2 + n^2 - 2mn\cos(\alpha) $

Чтобы применить эту теорему, нам нужно найти $\cos(\alpha)$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$:$ \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - (0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64 $

Из этого следует, что $\cos(\alpha)$ может иметь два значения:$ \cos(\alpha) = \sqrt{0.64} = 0.8 $ или $ \cos(\alpha) = -\sqrt{0.64} = -0.8 $.

Поскольку угол в треугольнике может быть как острым (косинус положительный), так и тупым (косинус отрицательный), мы должны рассмотреть оба случая.

Случай 1: Угол $\alpha$ — острый, $\cos(\alpha) = 0.8$.Подставим это значение в формулу теоремы косинусов:$ c^2 = m^2 + n^2 - 2mn(0.8) = m^2 + n^2 - 1.6mn $Тогда третья сторона равна:$ c_1 = \sqrt{m^2 + n^2 - 1.6mn} $

Случай 2: Угол $\alpha$ — тупой, $\cos(\alpha) = -0.8$.Подставим это значение в формулу теоремы косинусов:$ c^2 = m^2 + n^2 - 2mn(-0.8) = m^2 + n^2 + 1.6mn $Тогда третья сторона равна:$ c_2 = \sqrt{m^2 + n^2 + 1.6mn} $

Таким образом, задача имеет два возможных решения в зависимости от того, является ли угол между данными сторонами острым или тупым.

Ответ: Третья сторона треугольника может быть равна $\sqrt{m^2 + n^2 - 1.6mn}$ или $\sqrt{m^2 + n^2 + 1.6mn}$.

3.73. В трапеции, описанной около окружности, острые углы при основании равны $\alpha$ и $\beta$. Найдите радиус окружности, если площадь трапеции равна $S$.

Пусть дана трапеция ABCD, описанная около окружности, с основаниями AD и BC. Пусть r — радиус вписанной окружности, S — площадь трапеции. Острые углы при большем основании AD равны ∠A = α и ∠D = β.

Высота трапеции h, опущенная из вершин B и C на основание AD, равна диаметру вписанной окружности:
$h = 2r$

Для наглядности представим чертеж:

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$

По свойству описанного четырехугольника, суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает:
$AB + CD = AD + BC$

Подставим это свойство в формулу площади:
$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{AB + CD}{2} \cdot 2r = (AB + CD) \cdot r$

Теперь выразим боковые стороны AB и CD через радиус r и углы α и β. Проведем высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD. Получим два прямоугольных треугольника ΔABH и ΔDCK.

В прямоугольном треугольнике ΔABH катет BH равен высоте трапеции h, то есть $BH = 2r$. Угол ∠A = α. Тогда:
$\sin\alpha = \frac{BH}{AB} = \frac{2r}{AB}$
Отсюда выражаем боковую сторону AB:
$AB = \frac{2r}{\sin\alpha}$

Аналогично, в прямоугольном треугольнике ΔDCK катет CK равен $h = 2r$, а угол ∠D = β. Тогда:
$\sin\beta = \frac{CK}{CD} = \frac{2r}{CD}$
Отсюда выражаем боковую сторону CD:
$CD = \frac{2r}{\sin\beta}$

Подставим полученные выражения для AB и CD в формулу площади $S = (AB + CD) \cdot r$:
$S = \left(\frac{2r}{\sin\alpha} + \frac{2r}{\sin\beta}\right) \cdot r$

Вынесем общий множитель 2r за скобки:
$S = 2r \left(\frac{1}{\sin\alpha} + \frac{1}{\sin\beta}\right) \cdot r$
$S = 2r^2 \left(\frac{\sin\beta + \sin\alpha}{\sin\alpha \sin\beta}\right)$

Теперь из этого уравнения выразим $r^2$:
$r^2 = \frac{S \sin\alpha \sin\beta}{2(\sin\alpha + \sin\beta)}$

Извлекая квадратный корень, находим искомый радиус r:
$r = \sqrt{\frac{S \sin\alpha \sin\beta}{2(\sin\alpha + \sin\beta)}}$

Ответ: $r = \sqrt{\frac{S \sin\alpha \sin\beta}{2(\sin\alpha + \sin\beta)}}$