Страница 121 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что вы понимаете под анализом условия геометрической задачи?

2. Как составить план решения задачи?

1. Что вы понимаете под анализом условия геометрической задачи?

Анализ условия геометрической задачи — это процесс её детального разбора, направленный на полное понимание всех данных, связей между ними и установление пути к решению. Этот процесс является первым и важнейшим шагом в решении любой задачи и включает в себя несколько ключевых этапов:

1. Чтение и осмысление. Необходимо внимательно прочитать условие, чтобы понять, о каких геометрических фигурах идет речь, каковы их свойства и взаиморасположение.

2. Выделение основных частей задачи. Нужно четко разделить условие (то, что дано) и требование (то, что нужно найти или доказать).
- Условие ("Дано"): все исходные данные — фигуры (например, треугольник, окружность), их свойства (прямоугольный, равнобедренный), численные значения (длины сторон, величины углов), отношения между элементами (параллельность, перпендикулярность).
- Требование ("Найти" или "Доказать"): конечная цель задачи — вычисление некоторой величины или доказательство геометрического факта.

3. Построение чертежа. Создание точного и наглядного чертежа является неотъемлемой частью анализа. На чертеж наносятся все объекты из условия, обозначаются точки, линии, углы. Хороший чертеж помогает визуализировать задачу, увидеть скрытые свойства и возможные пути решения.

4. Символьная запись. Условие и требование задачи переводятся с обычного языка на язык математических символов. Например, фраза "В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB..." записывается как: Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$. Это помогает структурировать информацию и делает ее более удобной для работы.

5. Актуализация теоретических знаний. На этом этапе необходимо вспомнить все определения, аксиомы, теоремы и формулы, которые могут быть применимы к объектам и условиям задачи. Если речь идет о вписанной окружности, нужно вспомнить ее свойства (центр лежит на пересечении биссектрис, формула площади $S=pr$ и т.д.).

Ответ: Анализ условия геометрической задачи — это комплексный процесс, включающий выделение известных и искомых данных, построение чертежа, перевод условия на математический язык и подбор релевантной теоретической базы для нахождения связей между элементами задачи и построения дальнейшего плана решения.

2. Как составить план решения задачи?

План решения задачи — это логическая последовательность шагов (умозаключений, вычислений, доказательств), которая связывает условие задачи с ее требованием. Составление плана позволяет упорядочить мысли и избежать ошибок. Существует два основных подхода к составлению плана, которые часто используются в комбинации.

Аналитический метод (рассуждение "от конца к началу")
Это наиболее мощный метод для поиска пути решения. Рассуждения строятся в обратном порядке — от того, что нужно найти, к тому, что дано.
1. Начните с вопроса задачи. Спросите себя: "Что мне нужно знать, чтобы ответить на главный вопрос задачи?".
Пример: Если нужно найти площадь трапеции, то по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$ необходимо знать длины оснований ($a$, $b$) и высоту ($h$).
2. Для каждого необходимого элемента задайте следующий вопрос: "Как я могу найти этот элемент (например, высоту), используя данные задачи и известные теоремы?".
Пример: Высоту можно найти из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и частью основания. Для этого может понадобиться применить теорему Пифагора или тригонометрические соотношения.
3. Продолжайте этот процесс, пока все шаги не сведутся к исходным данным, приведенным в условии задачи. Таким образом, выстраивается логическая цепочка от искомого к данному.

Синтетический метод (рассуждение "от начала к концу")
Этот метод заключается в последовательном выведении следствий из условия задачи.
1. Начните с анализа "Дано". Посмотрите, какие непосредственные выводы можно сделать из каждого пункта условия.
Пример: Дано, что в $\triangle ABC$ проведена медиана $BM$. Из этого следует, что $AM = MC$. Если также дано, что $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то медиана $BM$ является также высотой и биссерисой.
2. Объединяйте полученные факты и выводите из них новые, постепенно приближаясь к цели задачи.
3. Продолжайте этот процесс, пока не придете к тому, что требовалось найти или доказать.

Комбинированный подход
На практике наиболее эффективно сочетать оба метода. Можно начать с анализа (чтобы понять цель), а затем использовать синтез (чтобы посмотреть, что можно получить из данных). План решения — это и есть тот путь, который соединяет начальную точку (условие) и конечную (требование).

Пример оформления плана:
1. Докажем, что $\triangle ABH \cong \triangle CBH$ по двум катетам.
2. Из равенства треугольников следует, что $\angle A = \angle C$.
3. Используя теорему синусов для $\triangle ABC$, найдем искомую сторону $AC$.

Ответ: Чтобы составить план решения задачи, нужно выстроить логическую цепочку шагов от условия к требованию. Это можно сделать, рассуждая "от конца к началу" (аналитический метод), "от начала к концу" (синтетический метод) или комбинируя оба подхода для нахождения наиболее короткого и ясного пути решения.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Проведите письменный анализ данных некоторых задач (рассмотрите задачи 3.63, 3.64).

Задача 3.63

Условие: Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями $v_1 = 36$ км/ч и $v_2 = 54$ км/ч. Пассажир в первом поезде замечает, что второй поезд проходит мимо него в течение времени $t = 6$ с. Какова длина второго поезда?

Анализ данных и решение:

1. Анализ физической модели. Для решения задачи целесообразно перейти в систему отсчета, связанную с первым поездом (и, соответственно, с пассажиром). В этой системе отсчета первый поезд покоится, а второй поезд движется навстречу ему с относительной скоростью $v_{отн}$.

2. Определение относительной скорости. Так как поезда движутся навстречу друг другу, их относительная скорость равна сумме их скоростей относительно земли:

$v_{отн} = v_1 + v_2$

3. Определение длины поезда. Время $t$, в течение которого второй поезд проходит мимо пассажира, — это время, за которое второй поезд (от его "головы" до "хвоста") проходит мимо точки, в которой находится пассажир. Расстояние, которое пройдет второй поезд относительно пассажира за это время, и будет равно длине второго поезда $L_2$. Используя формулу равномерного движения (расстояние равно скорости, умноженной на время), получаем:

$L_2 = v_{отн} \cdot t = (v_1 + v_2) \cdot t$

4. Приведение единиц к системе СИ. Для корректных вычислений необходимо перевести скорости поездов из км/ч в м/с. Для перевода используется соотношение $1 \text{ км/ч} = \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{1}{3.6} \text{ м/с}$.

$v_1 = 36 \text{ км/ч} = \frac{36}{3.6} \text{ м/с} = 10 \text{ м/с}$

$v_2 = 54 \text{ км/ч} = \frac{54}{3.6} \text{ м/с} = 15 \text{ м/с}$

Время $t$ уже дано в секундах: $t = 6$ с.

5. Вычисление. Подставим численные значения в полученную формулу:

$L_2 = (10 \text{ м/с} + 15 \text{ м/с}) \cdot 6 \text{ с} = 25 \text{ м/с} \cdot 6 \text{ с} = 150 \text{ м}$

Ответ: Длина второго поезда равна 150 м.

Задача 3.64

Условие: По параллельным путям в одном направлении идут два поезда: пассажирский длиной $l_1 = 200$ м со скоростью $v_1 = 72$ км/ч и товарный длиной $l_2 = 800$ м со скоростью $v_2 = 36$ км/ч. В течение какого времени пассажирский поезд будет обгонять товарный?

Анализ данных и решение:

1. Анализ физической модели. Процесс обгона одного поезда другим является относительным движением. Удобно рассмотреть движение в системе отсчета, связанной с более медленным, товарным поездом. В этой системе отсчета товарный поезд покоится.

2. Определение относительной скорости. Пассажирский поезд движется быстрее и в том же направлении. Его скорость относительно товарного поезда (относительная скорость обгона) равна разности их скоростей:

$v_{отн} = v_1 - v_2$

3. Определение относительного пути. Обгон начинается, когда "голова" пассажирского поезда поравняется с "хвостом" товарного. Обгон заканчивается, когда "хвост" пассажирского поезда поравняется с "головой" товарного. За время обгона $t$ пассажирский поезд должен пройти относительно товарного расстояние, равное сумме длин обоих поездов:

$S_{отн} = l_1 + l_2$

4. Вывод расчетной формулы. Используя основную формулу кинематики для равномерного движения $S = v \cdot t$, выразим искомое время $t$:

$t = \frac{S_{отн}}{v_{отн}} = \frac{l_1 + l_2}{v_1 - v_2}$

5. Приведение единиц к системе СИ. Длины поездов даны в метрах, что соответствует СИ. Скорости необходимо перевести из км/ч в м/с:

$v_1 = 72 \text{ км/ч} = \frac{72}{3.6} \text{ м/с} = 20 \text{ м/с}$

$v_2 = 36 \text{ км/ч} = \frac{36}{3.6} \text{ м/с} = 10 \text{ м/с}$

6. Вычисление. Подставим численные значения в формулу для времени обгона:

$t = \frac{200 \text{ м} + 800 \text{ м}}{20 \text{ м/с} - 10 \text{ м/с}} = \frac{1000 \text{ м}}{10 \text{ м/с}} = 100 \text{ с}$

Полученный результат можно также перевести в минуты: $100 \text{ с} = 1 \text{ минута } 40 \text{ секунд}$.

Ответ: Пассажирский поезд будет обгонять товарный в течение 100 с (1 мин 40 с).

3.63. В параллелограмме высоты равны $h_1$ и $h_2$. Найдите острый угол параллелограмма, если его периметр равен $2p$.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а острый угол между ними равен $\alpha$. Высоты, проведенные к этим сторонам, равны $h_a$ и $h_b$ соответственно. В условии задачи даны высоты $h_1$ и $h_2$. Соотнесем их с высотами к сторонам $a$ и $b$. Пусть $h_a = h_1$ и $h_b = h_2$. Периметр параллелограмма равен $P = 2(a+b)$, и по условию он равен $2p$.

Из условия о периметре получаем:

$2(a+b) = 2p$

$a+b = p$

Рассмотрим параллелограмм и его высоту. Высота, опущенная на сторону $a$, образует прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является смежная сторона $b$.

Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h_a$, стороной $b$ и частью стороны $a$, видно, что синус острого угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета (высоты) к гипотенузе (смежной стороне):

$\sin(\alpha) = \frac{h_a}{b}$

Аналогично, для высоты $h_b$, опущенной на сторону $b$, гипотенузой будет сторона $a$:

$\sin(\alpha) = \frac{h_b}{a}$

Используя наши обозначения $h_a = h_1$ и $h_b = h_2$, получаем систему уравнений:

1) $a+b = p$

2) $h_1 = b \sin(\alpha)$

3) $h_2 = a \sin(\alpha)$

Из уравнений (2) и (3) выразим стороны $a$ и $b$ через высоты и синус угла $\alpha$:

$b = \frac{h_1}{\sin(\alpha)}$

$a = \frac{h_2}{\sin(\alpha)}$

Теперь подставим эти выражения в уравнение (1) для полупериметра:

$\frac{h_2}{\sin(\alpha)} + \frac{h_1}{\sin(\alpha)} = p$

Сложим дроби:

$\frac{h_1 + h_2}{\sin(\alpha)} = p$

Отсюда выражаем $\sin(\alpha)$:

$\sin(\alpha) = \frac{h_1 + h_2}{p}$

Острый угол параллелограмма $\alpha$ можно найти, взяв арксинус от полученного значения:

$\alpha = \arcsin\left(\frac{h_1 + h_2}{p}\right)$

Ответ: $\alpha = \arcsin\left(\frac{h_1 + h_2}{p}\right)$.