Вопросы, страница 121 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что вы понимаете под анализом условия геометрической задачи?

2. Как составить план решения задачи?

1. Что вы понимаете под анализом условия геометрической задачи?

Анализ условия геометрической задачи — это процесс её детального разбора, направленный на полное понимание всех данных, связей между ними и установление пути к решению. Этот процесс является первым и важнейшим шагом в решении любой задачи и включает в себя несколько ключевых этапов:

1. Чтение и осмысление. Необходимо внимательно прочитать условие, чтобы понять, о каких геометрических фигурах идет речь, каковы их свойства и взаиморасположение.

2. Выделение основных частей задачи. Нужно четко разделить условие (то, что дано) и требование (то, что нужно найти или доказать).
- Условие ("Дано"): все исходные данные — фигуры (например, треугольник, окружность), их свойства (прямоугольный, равнобедренный), численные значения (длины сторон, величины углов), отношения между элементами (параллельность, перпендикулярность).
- Требование ("Найти" или "Доказать"): конечная цель задачи — вычисление некоторой величины или доказательство геометрического факта.

3. Построение чертежа. Создание точного и наглядного чертежа является неотъемлемой частью анализа. На чертеж наносятся все объекты из условия, обозначаются точки, линии, углы. Хороший чертеж помогает визуализировать задачу, увидеть скрытые свойства и возможные пути решения.

4. Символьная запись. Условие и требование задачи переводятся с обычного языка на язык математических символов. Например, фраза "В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB..." записывается как: Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$. Это помогает структурировать информацию и делает ее более удобной для работы.

5. Актуализация теоретических знаний. На этом этапе необходимо вспомнить все определения, аксиомы, теоремы и формулы, которые могут быть применимы к объектам и условиям задачи. Если речь идет о вписанной окружности, нужно вспомнить ее свойства (центр лежит на пересечении биссектрис, формула площади $S=pr$ и т.д.).

Ответ: Анализ условия геометрической задачи — это комплексный процесс, включающий выделение известных и искомых данных, построение чертежа, перевод условия на математический язык и подбор релевантной теоретической базы для нахождения связей между элементами задачи и построения дальнейшего плана решения.

2. Как составить план решения задачи?

План решения задачи — это логическая последовательность шагов (умозаключений, вычислений, доказательств), которая связывает условие задачи с ее требованием. Составление плана позволяет упорядочить мысли и избежать ошибок. Существует два основных подхода к составлению плана, которые часто используются в комбинации.

Аналитический метод (рассуждение "от конца к началу")
Это наиболее мощный метод для поиска пути решения. Рассуждения строятся в обратном порядке — от того, что нужно найти, к тому, что дано.
1. Начните с вопроса задачи. Спросите себя: "Что мне нужно знать, чтобы ответить на главный вопрос задачи?".
Пример: Если нужно найти площадь трапеции, то по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$ необходимо знать длины оснований ($a$, $b$) и высоту ($h$).
2. Для каждого необходимого элемента задайте следующий вопрос: "Как я могу найти этот элемент (например, высоту), используя данные задачи и известные теоремы?".
Пример: Высоту можно найти из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и частью основания. Для этого может понадобиться применить теорему Пифагора или тригонометрические соотношения.
3. Продолжайте этот процесс, пока все шаги не сведутся к исходным данным, приведенным в условии задачи. Таким образом, выстраивается логическая цепочка от искомого к данному.

Синтетический метод (рассуждение "от начала к концу")
Этот метод заключается в последовательном выведении следствий из условия задачи.
1. Начните с анализа "Дано". Посмотрите, какие непосредственные выводы можно сделать из каждого пункта условия.
Пример: Дано, что в $\triangle ABC$ проведена медиана $BM$. Из этого следует, что $AM = MC$. Если также дано, что $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то медиана $BM$ является также высотой и биссерисой.
2. Объединяйте полученные факты и выводите из них новые, постепенно приближаясь к цели задачи.
3. Продолжайте этот процесс, пока не придете к тому, что требовалось найти или доказать.

Комбинированный подход
На практике наиболее эффективно сочетать оба метода. Можно начать с анализа (чтобы понять цель), а затем использовать синтез (чтобы посмотреть, что можно получить из данных). План решения — это и есть тот путь, который соединяет начальную точку (условие) и конечную (требование).

Пример оформления плана:
1. Докажем, что $\triangle ABH \cong \triangle CBH$ по двум катетам.
2. Из равенства треугольников следует, что $\angle A = \angle C$.
3. Используя теорему синусов для $\triangle ABC$, найдем искомую сторону $AC$.

Ответ: Чтобы составить план решения задачи, нужно выстроить логическую цепочку шагов от условия к требованию. Это можно сделать, рассуждая "от конца к началу" (аналитический метод), "от начала к концу" (синтетический метод) или комбинируя оба подхода для нахождения наиболее короткого и ясного пути решения.