Номер 3.57, страница 118 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.57. Найдите стороны прямоугольного треугольника по периметру $2p$ и высоте $h_c$, опущенной к гипотенузе.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника через $a$ и $b$, а гипотенузу через $c$.

Согласно условию задачи, периметр треугольника равен $2p$, а высота, опущенная на гипотенузу, равна $h_c$. Запишем это в виде системы уравнений, добавив известные свойства прямоугольного треугольника:

1. Периметр: $a + b + c = 2p$
2. Теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$
3. Площадь: $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch_c$, откуда следует $ab = ch_c$

Наша цель — найти $a$, $b$ и $c$, используя данные $p$ и $h_c$.

Из первого уравнения выразим сумму катетов: $a+b = 2p - c$.

Возведем это выражение в квадрат:

$(a+b)^2 = (2p-c)^2$

$a^2 + 2ab + b^2 = 4p^2 - 4pc + c^2$

Теперь подставим в это уравнение выражения из второго и третьего уравнений ($a^2+b^2 = c^2$ и $ab = ch_c$):

$c^2 + 2(ch_c) = 4p^2 - 4pc + c^2$

Сократим $c^2$ в обеих частях уравнения:

$2ch_c = 4p^2 - 4pc$

Перенесем члены с $c$ в одну сторону и решим уравнение относительно $c$:

$2ch_c + 4pc = 4p^2$

$2c(h_c + 2p) = 4p^2$

$c = \frac{4p^2}{2(h_c + 2p)} = \frac{2p^2}{2p + h_c}$

Таким образом, мы нашли длину гипотенузы.

Теперь найдем катеты $a$ и $b$. Мы знаем их сумму и произведение:

Сумма: $a+b = 2p - c = 2p - \frac{2p^2}{2p + h_c} = \frac{2p(2p+h_c) - 2p^2}{2p + h_c} = \frac{4p^2 + 2ph_c - 2p^2}{2p + h_c} = \frac{2p^2 + 2ph_c}{2p + h_c} = \frac{2p(p+h_c)}{2p+h_c}$

Произведение: $ab = ch_c = \frac{2p^2}{2p + h_c} \cdot h_c = \frac{2p^2h_c}{2p+h_c}$

Катеты $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (a+b)x + ab = 0$. Подставим найденные выражения для суммы и произведения:

$x^2 - \frac{2p(p+h_c)}{2p+h_c}x + \frac{2p^2h_c}{2p+h_c} = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения $D = (a+b)^2 - 4ab$:

$D = \left(\frac{2p(p+h_c)}{2p+h_c}\right)^2 - 4\left(\frac{2p^2h_c}{2p+h_c}\right) = \frac{4p^2(p+h_c)^2}{(2p+h_c)^2} - \frac{8p^2h_c(2p+h_c)}{(2p+h_c)^2}$

$D = \frac{4p^2}{(2p+h_c)^2} \left[ (p+h_c)^2 - 2h_c(2p+h_c) \right]$

$D = \frac{4p^2}{(2p+h_c)^2} [ p^2 + 2ph_c + h_c^2 - 4ph_c - 2h_c^2 ] = \frac{4p^2(p^2 - 2ph_c - h_c^2)}{(2p+h_c)^2}$

Для существования вещественных решений (сторон треугольника) необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным: $D \ge 0$. Это условие выполняется, если $p^2 - 2ph_c - h_c^2 \ge 0$. Решая это неравенство относительно $p$, получаем $p \ge h_c(1+\sqrt{2})$ (так как $p > 0$).

Корни уравнения (длины катетов $a$ и $b$) равны:

$x = \frac{(a+b) \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{2p(p+h_c)}{2p+h_c} \pm \sqrt{\frac{4p^2(p^2 - 2ph_c - h_c^2)}{(2p+h_c)^2}} \right)$

$x = \frac{1}{2} \left( \frac{2p(p+h_c)}{2p+h_c} \pm \frac{2p\sqrt{p^2 - 2ph_c - h_c^2}}{2p+h_c} \right)$

$x = \frac{p(p+h_c) \pm p\sqrt{p^2 - 2ph_c - h_c^2}}{2p+h_c}$

Итак, стороны треугольника равны:

Ответ: Гипотенуза равна $c = \frac{2p^2}{2p+h_c}$. Катеты равны $a, b = \frac{p(p+h_c) \pm p\sqrt{p^2 - 2ph_c - h_c^2}}{2p+h_c}$. Решение существует при выполнении условия $p \ge h_c(1+\sqrt{2})$.