Номер 3.54, страница 117 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.54. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$. Докажите, что выполняется равенство $AB : AC = BD : CD$.

Данное утверждение известно как свойство биссектрисы треугольника. Для его доказательства используем метод дополнительного построения.

Доказательство:

Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную биссектрисе $AD$, до её пересечения с продолжением стороны $AB$ в точке $E$. Таким образом, $CE \parallel AD$.

Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $CE$. При пересечении их секущей $AC$ внутренние накрест лежащие углы равны: $\angle DAC = \angle ACE$ (на рисунке углы 2 и 3). При пересечении их секущей $BE$ соответственные углы равны: $\angle BAD = \angle AEC$ (на рисунке углы 1 и 4).

По условию, $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, поэтому $\angle BAD = \angle DAC$. Из этого и предыдущих равенств следует, что $\angle ACE = \angle AEC$.

Поскольку в треугольнике $ACE$ углы при основании $CE$ равны, то он является равнобедренным, а значит, его боковые стороны равны: $AC = AE$.

Теперь рассмотрим угол $EBC$, стороны которого пересечены параллельными прямыми $AD$ и $CE$. По теореме о пропорциональных отрезках (обобщенной теореме Фалеса), выполняется соотношение: $\frac{AB}{AE} = \frac{BD}{DC}$.

Так как мы доказали, что $AE = AC$, мы можем произвести замену в полученной пропорции: $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.

Это равенство можно переписать в виде $AB : AC = BD : CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AB : AC = BD : CD$ доказано.