Номер 3.52, страница 117 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.52. В параллелограмме одна из диагоналей, равная 18 см, образует со сторонами углы $20^\circ$ и $40^\circ$. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Диагональ $AC$ равна 18 см. По условию, эта диагональ образует со сторонами параллелограмма углы $20^{\circ}$ и $40^{\circ}$. Предположим, что эти углы образованы диагональю со смежными сторонами, выходящими из одной вершины, например, $A$. Таким образом, пусть $\angle BAC = 20^{\circ}$ и $\angle DAC = 40^{\circ}$.

Для нахождения сторон параллелограмма $AB$ и $BC$ (равной $AD$) рассмотрим треугольник $ABC$.

1. Найдем угол $\angle BAD$ параллелограмма. Он равен сумме двух углов, на которые его делит диагональ $AC$:
$\angle BAD = \angle BAC + \angle DAC = 20^{\circ} + 40^{\circ} = 60^{\circ}$.

2. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$. Следовательно, угол $\angle ABC$ равен:
$\angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAD = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

3. В параллелограмме противолежащие стороны параллельны, т.е. $AD \parallel BC$. Прямая $AC$ является для них секущей. Поэтому накрест лежащие углы равны:
$\angle BCA = \angle DAC = 40^{\circ}$.

4. Теперь в треугольнике $ABC$ известны все углы ($\angle BAC = 20^{\circ}$, $\angle BCA = 40^{\circ}$, $\angle ABC = 120^{\circ}$) и сторона $AC = 18$ см. Применим теорему синусов, чтобы найти длины сторон $AB$ и $BC$: $\frac{AB}{\sin(\angle BCA)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$

Подставляем известные значения: $\frac{AB}{\sin(40^{\circ})} = \frac{BC}{\sin(20^{\circ})} = \frac{18}{\sin(120^{\circ})}$

Из этого соотношения выражаем длины сторон $AB$ и $BC$:
$AB = \frac{18 \cdot \sin(40^{\circ})}{\sin(120^{\circ})}$
$BC = \frac{18 \cdot \sin(20^{\circ})}{\sin(120^{\circ})}$

Так как $\sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin(60^{\circ})$, то окончательные выражения для сторон параллелограмма: $AB = \frac{18 \sin(40^{\circ})}{\sin(60^{\circ})}$ см.
$BC = \frac{18 \sin(20^{\circ})}{\sin(60^{\circ})}$ см.

Ответ: Стороны параллелограмма равны $\frac{18 \sin(40^{\circ})}{\sin(60^{\circ})}$ см и $\frac{18 \sin(20^{\circ})}{\sin(60^{\circ})}$ см.