Номер 3.45, страница 116 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.45. Две равные силы, образующие между собой угол 72°, приложены к одной точке. Равнодействующая им сила равна 120 Н. Определите величину этих сил.

Для определения величины сил воспользуемся правилом сложения векторов (правилом параллелограмма) и теоремой косинусов. Пусть $F$ — искомая величина каждой из двух равных сил, $\alpha = 72^\circ$ — угол между ними, а $R = 120$ Н — величина их равнодействующей силы.

Согласно теореме косинусов для векторов, квадрат модуля равнодействующей силы $R$ можно найти по формуле:

$R^2 = F^2 + F^2 + 2 \cdot F \cdot F \cdot \cos\alpha$

Так как силы равны, мы можем упростить выражение:

$R^2 = 2F^2 + 2F^2 \cos\alpha$

$R^2 = 2F^2(1 + \cos\alpha)$

Выразим отсюда величину силы $F$:

$F^2 = \frac{R^2}{2(1 + \cos\alpha)}$

$F = \frac{R}{\sqrt{2(1 + \cos\alpha)}}$

Для упрощения расчетов можно использовать тригонометрическую формулу половинного угла: $1 + \cos\alpha = 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$. Подставив ее в знаменатель, получим:

$F = \frac{R}{\sqrt{2 \cdot 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}} = \frac{R}{\sqrt{4\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}} = \frac{R}{2\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Теперь подставим числовые значения: $R = 120$ Н и $\alpha = 72^\circ$, следовательно $\frac{\alpha}{2} = 36^\circ$.

$F = \frac{120}{2\cos(36^\circ)}$

Значение косинуса $36^\circ$ приблизительно равно $0.8090$.

$F \approx \frac{120}{2 \cdot 0.8090} = \frac{120}{1.618} \approx 74.1656$ Н.

Округлим результат до десятых.

Ответ: Величина каждой из сил составляет примерно 74,2 Н.