Номер 3.46, страница 117 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.46. Силы величиной 100 Н и 200 Н, образующие между собой угол 50°, приложены к одной точке. Найдите величину равнодействующей силы и углы, образованные этой силой с исходными силами.

Для решения задачи воспользуемся методами векторной алгебры. Даны две силы, $F_1 = 100$ Н и $F_2 = 200$ Н, приложенные к одной точке под углом $\gamma = 50^\circ$. Равнодействующая сила $\vec{R}$ является векторной суммой исходных сил: $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$.

Геометрически равнодействующая сила $\vec{R}$ является диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ как на сторонах, исходящих из одной точки. Это показано на рисунке ниже, где $\alpha_1$ и $\alpha_2$ — искомые углы.

Нахождение величины равнодействующей силы

Для нахождения модуля (величины) равнодействующей силы $R$ воспользуемся теоремой косинусов. Формула для суммы двух векторов имеет вид:

$R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos \gamma$

Подставим известные значения: $F_1 = 100$ Н, $F_2 = 200$ Н, $\gamma = 50^\circ$.

$R^2 = 100^2 + 200^2 + 2 \cdot 100 \cdot 200 \cdot \cos(50^\circ)$

$R^2 = 10000 + 40000 + 40000 \cdot \cos(50^\circ)$

Используя значение $\cos(50^\circ) \approx 0.6428$, получаем:

$R^2 \approx 50000 + 40000 \cdot 0.6428 = 50000 + 25712 = 75712$

Теперь найдем величину $R$, извлекая квадратный корень:

$R = \sqrt{75712} \approx 275.2$ Н

Нахождение углов, образованных равнодействующей силой с исходными силами

Для нахождения углов $\alpha_1$ и $\alpha_2$ воспользуемся теоремой синусов для треугольника со сторонами $R$, $F_1$ и $F_2$.

Соотношение по теореме синусов для угла $\alpha_1$ (угол между $\vec{R}$ и $\vec{F_1}$):

$\frac{F_2}{\sin \alpha_1} = \frac{R}{\sin \gamma}$

Отсюда выразим $\sin \alpha_1$:

$\sin \alpha_1 = \frac{F_2 \sin \gamma}{R}$

Подставим значения: $F_2 = 200$ Н, $\gamma = 50^\circ$, $R \approx 275.2$ Н. Используя значение $\sin(50^\circ) \approx 0.7660$, получаем:

$\sin \alpha_1 \approx \frac{200 \cdot 0.7660}{275.2} = \frac{153.2}{275.2} \approx 0.5567$

Теперь найдем угол $\alpha_1$:

$\alpha_1 = \arcsin(0.5567) \approx 33.8^\circ$

Сумма углов $\alpha_1$ и $\alpha_2$ равна углу между исходными силами $\gamma$:

$\alpha_1 + \alpha_2 = \gamma$

Отсюда находим угол $\alpha_2$ (угол между $\vec{R}$ и $\vec{F_2}$):

$\alpha_2 = \gamma - \alpha_1 = 50^\circ - 33.8^\circ = 16.2^\circ$

Ответ: величина равнодействующей силы приблизительно равна 275.2 Н; углы, образованные равнодействующей с силами 100 Н и 200 Н, равны соответственно $33.8^\circ$ и $16.2^\circ$.