Номер 3.40, страница 116 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.40. Найдите решение треугольника, если даны две стороны и угол, противолежащий одной из них:

1) $a=4$ см, $b=5$ см, $\alpha=60^\circ$;

2) $b=7$ см, $c=3\sqrt{2}$ см, $\gamma=45^\circ$;

3) $a=4\sqrt{3}$ м, $c=4$ м, $\alpha=120^\circ$;

4) $a=8$ дм, $b=5$ дм, $\beta=30^\circ$.

1) Дано: $a=4$ см, $b=5$ см, $\alpha=60^\circ$.
Решение треугольника означает нахождение всех его неизвестных сторон и углов, в данном случае — стороны $c$ и углов $\beta$ и $\gamma$.
Для решения воспользуемся теоремой синусов: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$.
Сначала найдем угол $\beta$:
Из соотношения $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$ выразим $\sin \beta$:
$\sin \beta = \frac{b \cdot \sin \alpha}{a}$
Подставим известные значения:
$\sin \beta = \frac{5 \cdot \sin 60^\circ}{4} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{8}$
Приблизительно оценим значение: $\sqrt{3} \approx 1.732$, поэтому $5\sqrt{3} \approx 5 \cdot 1.732 = 8.66$.
$\sin \beta \approx \frac{8.66}{8} \approx 1.0825$.
Поскольку значение синуса любого угла не может превышать 1, а мы получили $\sin \beta > 1$, то треугольник с заданными параметрами не существует.
Ответ: Решения не существует.

2) Дано: $b=7$ см, $c=3\sqrt{2}$ см, $\gamma=45^\circ$.
Необходимо найти сторону $a$ и углы $\alpha$ и $\beta$.
Используем теорему синусов для нахождения угла $\beta$:
$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \Rightarrow \sin \beta = \frac{b \cdot \sin \gamma}{c}$
Подставим известные значения:
$\sin \beta = \frac{7 \cdot \sin 45^\circ}{3\sqrt{2}} = \frac{7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = \frac{7}{6}$
Так как $\frac{7}{6} > 1$, синус угла не может принимать такое значение. Следовательно, треугольника с такими параметрами не существует.
Ответ: Решения не существует.

3) Дано: $a=4\sqrt{3}$ м, $c=4$ м, $\alpha=120^\circ$.
Нужно найти сторону $b$ и углы $\beta$ и $\gamma$.
По теореме синусов найдем угол $\gamma$:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma} \Rightarrow \sin \gamma = \frac{c \cdot \sin \alpha}{a}$
$\sin \gamma = \frac{4 \cdot \sin 120^\circ}{4\sqrt{3}} = \frac{\sin 120^\circ}{\sqrt{3}}$
Значение $\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin \gamma = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$
Угол $\gamma$ может быть равен $30^\circ$ или $150^\circ$.
Проверим возможность $\gamma=150^\circ$. Сумма углов в треугольнике $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Если $\gamma=150^\circ$, то $\alpha + \gamma = 120^\circ + 150^\circ = 270^\circ$, что больше $180^\circ$. Этот вариант невозможен.
Следовательно, единственное возможное значение $\gamma = 30^\circ$.
Теперь найдем третий угол $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.
Поскольку углы $\beta$ и $\gamma$ равны ($30^\circ$), треугольник является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $b=c$.
Так как $c=4$ м, то и $b=4$ м.
Ответ: $b=4$ м, $\beta=30^\circ$, $\gamma=30^\circ$.

4) Дано: $a=8$ дм, $b=5$ дм, $\beta=30^\circ$.
Нужно найти сторону $c$ и углы $\alpha$ и $\gamma$.
Применим теорему синусов для нахождения угла $\alpha$:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \cdot \sin \beta}{b}$
$\sin \alpha = \frac{8 \cdot \sin 30^\circ}{5} = \frac{8 \cdot \frac{1}{2}}{5} = \frac{4}{5}$
Уравнение $\sin \alpha = 4/5$ в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$ имеет два решения: острое $\alpha_1 = \arcsin(4/5)$ и тупое $\alpha_2 = 180^\circ - \arcsin(4/5)$. Проверим, возможны ли оба случая.
Условие существования двух решений: $b < a$ и $b > a \sin \beta$.
$5 < 8$ (верно) и $5 > 8 \sin 30^\circ = 8 \cdot 0.5 = 4$ (верно). Значит, существует два треугольника, удовлетворяющих условиям задачи.

Случай 1: Угол $\alpha$ — острый.
$\alpha_1 = \arcsin(4/5)$.
Находим угол $\gamma_1$: $\gamma_1 = 180^\circ - \beta - \alpha_1 = 180^\circ - 30^\circ - \arcsin(4/5) = 150^\circ - \arcsin(4/5)$.
Находим сторону $c_1$ по теореме синусов: $c_1 = \frac{b \cdot \sin \gamma_1}{\sin \beta} = \frac{5 \cdot \sin(150^\circ - \arcsin(4/5))}{\sin 30^\circ} = 10 \cdot \sin(150^\circ - \arcsin(4/5))$.
Используем формулу синуса разности: $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.
$\sin \alpha_1 = 4/5$, $\cos \alpha_1 = \sqrt{1 - (4/5)^2} = 3/5$.
$\sin \gamma_1 = \sin 150^\circ \cos \alpha_1 - \cos 150^\circ \sin \alpha_1 = (\frac{1}{2})(\frac{3}{5}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{4}{5}) = \frac{3}{10} + \frac{4\sqrt{3}}{10} = \frac{3+4\sqrt{3}}{10}$.
$c_1 = 10 \cdot \frac{3+4\sqrt{3}}{10} = 3+4\sqrt{3}$ дм.

Случай 2: Угол $\alpha$ — тупой.
$\alpha_2 = 180^\circ - \arcsin(4/5)$.
Находим угол $\gamma_2$: $\gamma_2 = 180^\circ - \beta - \alpha_2 = 180^\circ - 30^\circ - (180^\circ - \arcsin(4/5)) = \arcsin(4/5) - 30^\circ$.
Находим сторону $c_2$: $c_2 = \frac{b \cdot \sin \gamma_2}{\sin \beta} = \frac{5 \cdot \sin(\arcsin(4/5) - 30^\circ)}{\sin 30^\circ} = 10 \cdot \sin(\arcsin(4/5) - 30^\circ)$.
Используем формулу синуса разности:
$\sin \gamma_2 = \sin(\alpha_1) \cos 30^\circ - \cos(\alpha_1) \sin 30^\circ = (\frac{4}{5})(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{3}{5})(\frac{1}{2}) = \frac{4\sqrt{3}}{10} - \frac{3}{10} = \frac{4\sqrt{3}-3}{10}$.
$c_2 = 10 \cdot \frac{4\sqrt{3}-3}{10} = 4\sqrt{3}-3$ дм.

Задача имеет два решения.
Ответ: 1) $\alpha_1=\arcsin(4/5)$, $\gamma_1=150^\circ - \arcsin(4/5)$, $c_1=3+4\sqrt{3}$ дм; 2) $\alpha_2=180^\circ - \arcsin(4/5)$, $\gamma_2=\arcsin(4/5)-30^\circ$, $c_2=4\sqrt{3}-3$ дм.