Номер 3.37, страница 116 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.37. Найдите $AC$ и $BC$, если $S_{ABC}=120 \text{ см}^2$, $\angle A=30^\circ$, $AB=75 \text{ см}.

Для решения задачи воспользуемся данными: площадь треугольника $S_{ABC} = 120 \text{ см}^2$, угол $\angle A = 30^\circ$ и сторона $AB = 75 \text{ см}$.

1. Нахождение стороны AC
Площадь треугольника можно вычислить по формуле через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. Применив эту формулу к нашему треугольнику, получим: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin A$.
Подставим известные значения. Учитывая, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получим уравнение:
$120 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 75 \cdot \frac{1}{2}$
$120 = \frac{75 \cdot AC}{4}$
Отсюда выражаем и находим длину стороны $AC$:
$AC = \frac{120 \cdot 4}{75} = \frac{480}{75} = 6.4 \text{ см}$.

2. Нахождение стороны BC
Теперь, зная длины двух сторон ($AC = 6.4 \text{ см}$ и $AB = 75 \text{ см}$) и угол между ними ($\angle A = 30^\circ$), мы можем найти длину третьей стороны $BC$ с помощью теоремы косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$.
Для нашего треугольника формула выглядит так: $BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos A$.
Подставим известные значения, учитывая, что $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$BC^2 = (6.4)^2 + 75^2 - 2 \cdot 6.4 \cdot 75 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
Выполним вычисления:
$BC^2 = 40.96 + 5625 - 960 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$BC^2 = 5665.96 - 480\sqrt{3}$
Извлекая квадратный корень, получаем точное значение длины стороны $BC$:
$BC = \sqrt{5665.96 - 480\sqrt{3}} \text{ см}$.

Ответ: $AC = 6.4 \text{ см}$; $BC = \sqrt{5665.96 - 480\sqrt{3}} \text{ см}$.