Вопросы, страница 115 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое решение треугольника?

2. Какие теоремы применяются при решении треугольника?

1. Что такое решение треугольника?

Решение треугольника — это нахождение всех его неизвестных элементов (то есть трех сторон и трех углов) по известным элементам, которые однозначно определяют треугольник.

Любой треугольник имеет шесть основных элементов: три стороны (длины сторон) и три угла. Для того чтобы решить треугольник, необходимо знать как минимум три из этих шести элементов, причем хотя бы один из них должен быть стороной. Если известны только три угла, то можно найти бесчисленное множество подобных треугольников, но не их конкретные размеры, так как не задан масштаб.

Например, если известны две стороны и угол между ними, можно найти третью сторону и два оставшихся угла. Аналогично, зная одну сторону и два прилежащих к ней угла, можно определить две другие стороны и третий угол.

Ответ: Решение треугольника — это задача по нахождению длин всех его трех сторон и величин всех трех углов по трем известным элементам, где хотя бы один из них является стороной.

2. Какие теоремы применяются при решении треугольника?

При решении произвольных треугольников (не обязательно прямоугольных) используются фундаментальные теоремы тригонометрии. Рассмотрим треугольник ABC со сторонами $a$, $b$, $c$, лежащими против углов $A$, $B$, $C$ соответственно.

Основные теоремы:

Теорема синусов: Утверждает, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Формула: $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $, где $R$ — радиус описанной окружности.
Применяется, когда известны:
• два угла и одна сторона (для нахождения остальных сторон);
• две стороны и угол, противолежащий одной из них (для нахождения другого угла).

Теорема косинусов: Является обобщением теоремы Пифагора. Она связывает длину одной стороны с длинами двух других сторон и косинусом угла между ними.
Формулы:
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $
$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B $
$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C $
Применяется, когда известны:
• две стороны и угол между ними (для нахождения третьей стороны);
• три стороны (для нахождения любого угла).

Теорема о сумме углов треугольника: Сумма внутренних углов любого треугольника на евклидовой плоскости равна $180^\circ$.
Формула: $ A + B + C = 180^\circ $.
Применяется практически в каждой задаче на решение треугольников, чтобы найти третий угол, если известны два других.

В частном случае, для прямоугольных треугольников (где один из углов равен $90^\circ$), помимо указанных теорем (которые также применимы), часто используют:
• Теорему Пифагора: $ a^2 + b^2 = c^2 $ (где $c$ — гипотенуза).
• Определения тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, которые связывают углы и отношения сторон:
$ \sin A = \frac{a}{c} $, $ \cos A = \frac{b}{c} $, $ \tan A = \frac{a}{b} $.

Ответ: Основными теоремами, применяемыми при решении треугольников, являются теорема синусов, теорема косинусов и теорема о сумме углов треугольника. Для прямоугольных треугольников также широко используется теорема Пифагора и определения тригонометрических функций.