Номер 3.30, страница 113 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.30. Как, пользуясь теоремой синусов, найти расстояние между пунктами А и В, находящимися по разные стороны реки?

Чтобы найти расстояние между двумя точками A и B, расположенными на разных берегах реки, с использованием теоремы синусов, необходимо провести ряд измерений и вычислений на местности. Этот метод называется триангуляцией. Алгоритм действий следующий:

1. Выбор базовой линии (базиса).

На доступном для перемещения берегу необходимо выбрать третью точку C, из которой хорошо видны точки A и B. Затем следует измерить расстояние между одной из исходных точек (например, A) и новой точкой C. Это расстояние AC будет являться базовой линией (или базисом) для дальнейших вычислений. Длину базиса AC, обозначим как b, можно измерить с помощью дальномера или мерной ленты.

2. Измерение углов.

С помощью угломерного инструмента (например, теодолита или гномона) нужно измерить два угла в треугольнике ABC:

• Угол $\alpha$ ($\angle CAB$), стоя в точке A и измеряя угол между направлениями на точку C и на точку B.
• Угол $\gamma$ ($\angle ACB$), стоя в точке C и измеряя угол между направлениями на точку A и на точку B.

На рисунке приведена схема измерений. AB — искомое расстояние, AC (длиной b) — измеренный базис, $\alpha$ и $\gamma$ — измеренные углы.

3. Вычисление третьего угла.

Сумма углов в треугольнике всегда равна $180^\circ$. Поэтому третий угол треугольника, $\angle ABC$ (обозначим его $\beta$), можно вычислить по формуле:

$\beta = 180^\circ - (\alpha + \gamma)$

4. Применение теоремы синусов.

Теорема синусов утверждает, что для любого треугольника отношение длин сторон к синусам противолежащих им углов является величиной постоянной. Для треугольника ABC теорема записывается так:

$\frac{AB}{\sin \gamma} = \frac{AC}{\sin \beta} = \frac{BC}{\sin \alpha}$

Для нашей задачи достаточно использовать часть этого равенства:

$\frac{AB}{\sin \gamma} = \frac{AC}{\sin \beta}$

5. Нахождение искомого расстояния.

Из пропорции, полученной на предыдущем шаге, выражаем искомую длину AB:

$AB = \frac{AC \cdot \sin \gamma}{\sin \beta}$

Подставляя известные значения длины базиса $AC = b$ и выражение для угла $\beta$, получаем рабочую формулу:

$AB = \frac{b \cdot \sin \gamma}{\sin(180^\circ - (\alpha + \gamma))}$

Используя тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, формулу можно упростить:

$AB = \frac{b \cdot \sin \gamma}{\sin(\alpha + \gamma)}$

Таким образом, измерив одну сторону и два угла, можно вычислить искомое расстояние между точками A и B.

Ответ: Чтобы найти расстояние $AB$, необходимо выбрать на доступном берегу точку C, измерить длину базиса $AC = b$, а также измерить углы $\angle CAB = \alpha$ и $\angle ACB = \gamma$. Искомое расстояние $AB$ вычисляется по теореме синусов с помощью формулы: $AB = \frac{b \cdot \sin \gamma}{\sin(\alpha + \gamma)}$.