Номер 3.31, страница 113 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.31.* Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC, AOB, AOC, BOC, равны между собой.

Для доказательства воспользуемся обобщенной теоремой синусов. Радиус $R$ окружности, описанной около треугольника, связан с длиной его стороны $a$ и величиной противолежащего угла $\alpha$ соотношением $R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$. Мы последовательно докажем, что радиусы описанных окружностей треугольников $AOB$, $BOC$ и $AOC$ равны радиусу $R_{ABC}$ описанной окружности треугольника $ABC$.

Пусть $AD$, $BE$ и $CF$ — высоты остроугольного треугольника $ABC$, проведенные из вершин $A$, $B$ и $C$ соответственно. Точка $O$ — их точка пересечения (ортоцентр). Углы треугольника $ABC$ обозначим как $\angle A, \angle B, \angle C$.

Сначала сравним радиусы $R_{AOB}$ и $R_{ABC}$. По теореме синусов для треугольника $AOB$ имеем $R_{AOB} = \frac{AB}{2 \sin(\angle AOB)}$, а для треугольника $ABC$ — $R_{ABC} = \frac{AB}{2 \sin(\angle C)}$. Рассмотрим четырехугольник $CDOE$. В нем углы $\angle ODC$ и $\angle OEC$ прямые, так как $AD$ и $BE$ — высоты. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, поэтому $\angle EOD + \angle DCE = 180^\circ$, откуда $\angle EOD = 180^\circ - \angle C$. Углы $\angle AOB$ и $\angle EOD$ являются вертикальными, следовательно, $\angle AOB = \angle EOD = 180^\circ - \angle C$. Тогда, используя свойство синуса $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем $\sin(\angle AOB) = \sin(180^\circ - \angle C) = \sin(\angle C)$. Таким образом, $R_{AOB} = \frac{AB}{2 \sin(\angle C)} = R_{ABC}$.

Совершенно аналогично доказывается равенство для остальных радиусов. Для $R_{BOC}$ используется сторона $BC$ и $\angle BOC$. Рассматривая четырехугольник $AFOE$, находим, что $\angle FOE = 180^\circ - \angle A$. Угол $\angle BOC$ вертикален углу $\angle FOE$, значит $\angle BOC = 180^\circ - \angle A$. Отсюда $\sin(\angle BOC) = \sin(\angle A)$, и, следовательно, $R_{BOC} = \frac{BC}{2 \sin(\angle BOC)} = \frac{BC}{2 \sin(\angle A)} = R_{ABC}$.

Для $R_{AOC}$ используется сторона $AC$ и $\angle AOC$. Рассматривая четырехугольник $BDOF$, находим, что $\angle DOF = 180^\circ - \angle B$. Угол $\angle AOC$ вертикален углу $\angle DOF$, значит $\angle AOC = 180^\circ - \angle B$. Отсюда $\sin(\angle AOC) = \sin(\angle B)$, и, следовательно, $R_{AOC} = \frac{AC}{2 \sin(\angle AOC)} = \frac{AC}{2 \sin(\angle B)} = R_{ABC}$.

Таким образом, мы установили, что $R_{AOB} = R_{BOC} = R_{AOC} = R_{ABC}$. Все четыре радиуса равны между собой.

Ответ: Равенство радиусов окружностей, описанных около треугольников $ABC$, $AOB$, $AOC$ и $BOC$, доказано.