Номер 3.24, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.24. Найдите $H$ по данным на рисунке 3.6.

B

$60^\circ$

$4 \text{ м}$

$H$

C

$30^\circ$

D

A

Рис. 3.6

Для нахождения высоты $H$ воспользуемся тригонометрическими соотношениями в прямоугольных треугольниках, которые можно увидеть на рисунке.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $ \triangle ABD $ и $ \triangle ACD $. Они имеют общий катет $ AD $. Будем считать, что $ \angle BDA = 90^\circ $ и $ \angle CDA = 90^\circ $.

В треугольнике $ \triangle ABD $ катет $ BD = 4 $ м. Угол $ 60^\circ $, показанный у вершины $ B $, является углом понижения (угол между горизонталью и линией визирования $ BA $). Этот угол равен накрест лежащему углу $ \angle BAD $, поскольку горизонтальная линия, проходящая через $ B $, параллельна основанию $ AD $. Таким образом, $ \angle BAD = 60^\circ $.

Из $ \triangle ABD $ мы можем выразить катет $ AD $ через тангенс угла $ \angle BAD $: $ \tan(\angle BAD) = \frac{BD}{AD} \implies \tan(60^\circ) = \frac{4}{AD} $

Отсюда $ AD = \frac{4}{\tan(60^\circ)} $.

Теперь рассмотрим треугольник $ \triangle ACD $: катет $ CD = H $, а $ \angle CAD = 30^\circ $.

Из $ \triangle ACD $ мы также можем выразить катет $ AD $ через тангенс угла $ \angle CAD $: $ \tan(\angle CAD) = \frac{CD}{AD} \implies \tan(30^\circ) = \frac{H}{AD} $

Отсюда $ AD = \frac{H}{\tan(30^\circ)} $.

Так как $ AD $ является общим катетом для обоих треугольников, мы можем приравнять два полученных выражения для $ AD $: $ \frac{4}{\tan(60^\circ)} = \frac{H}{\tan(30^\circ)} $

Выразим $ H $ из этого уравнения: $ H = 4 \cdot \frac{\tan(30^\circ)}{\tan(60^\circ)} $

Подставим известные значения тангенсов: $ \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} $ и $ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} $. $ H = 4 \cdot \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3} $

Следовательно, высота пьедестала $ H $ равна $ \frac{4}{3} $ м.

Ответ: $ H = \frac{4}{3} $ м.