Номер 3.18, страница 111 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.18. Определите вид треугольника, если стороны треугольника равны:

1) 5, 4 и 4;

2) 17, 8 и 15;

3) 9, 5 и 6.

Для определения вида треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) по его сторонам $a, b, c$ необходимо сравнить квадрат самой длинной стороны с суммой квадратов двух других. Пусть $c$ – наибольшая сторона.
- Если $c^2 < a^2 + b^2$, то треугольник остроугольный.
- Если $c^2 = a^2 + b^2$, то треугольник прямоугольный (по теореме, обратной теореме Пифагора).
- Если $c^2 > a^2 + b^2$, то треугольник тупоугольный.
Перед этим необходимо проверить, существует ли такой треугольник, используя неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше третьей стороны. Для этого достаточно проверить, что сумма двух меньших сторон больше самой большой.

1) Стороны равны 5, 4 и 4.
Обозначим стороны $a=4, b=4, c=5$. Наибольшая сторона $c=5$.
Проверим неравенство треугольника: $4 + 4 > 5$, то есть $8 > 5$. Неравенство выполняется, значит, такой треугольник существует.
Теперь сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
$c^2 = 5^2 = 25$
$a^2 + b^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$
Так как $25 < 32$, то есть $c^2 < a^2 + b^2$, треугольник является остроугольным.
Ответ: остроугольный.

2) Стороны равны 17, 8 и 15.
Обозначим стороны в порядке возрастания $a=8, b=15, c=17$. Наибольшая сторона $c=17$.
Проверим неравенство треугольника: $8 + 15 > 17$, то есть $23 > 17$. Неравенство выполняется, значит, такой треугольник существует.
Сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
$c^2 = 17^2 = 289$
$a^2 + b^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$
Так как $289 = 289$, то есть $c^2 = a^2 + b^2$, треугольник является прямоугольным.
Ответ: прямоугольный.

3) Стороны равны 9, 5 и 6.
Обозначим стороны в порядке возрастания $a=5, b=6, c=9$. Наибольшая сторона $c=9$.
Проверим неравенство треугольника: $5 + 6 > 9$, то есть $11 > 9$. Неравенство выполняется, значит, такой треугольник существует.
Сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
$c^2 = 9^2 = 81$
$a^2 + b^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$
Так как $81 > 61$, то есть $c^2 > a^2 + b^2$, треугольник является тупоугольным.
Ответ: тупоугольный.