Номер 3.21, страница 111 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.21. Как найти стороны параллелограмма, если известны его диагонали и угол между ними?

Для нахождения сторон параллелограмма, зная его диагонали и угол между ними, необходимо использовать свойство диагоналей параллелограмма и теорему косинусов.

Пусть нам дан параллелограмм со сторонами $a$ и $b$, диагоналями $d_1$ и $d_2$. Пусть диагонали пересекаются в точке $O$ под углом $\alpha$.

Основное свойство диагоналей параллелограмма заключается в том, что они точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что диагонали делят параллелограмм на четыре треугольника. Рассмотрим два смежных треугольника, образованных половинами диагоналей и сторонами параллелограмма.

1. Нахождение стороны $a$

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Две его стороны являются половинами диагоналей: $AO = d_1/2$ и $BO = d_2/2$. Угол между ними $\angle AOB = \alpha$. Третья сторона этого треугольника — это сторона параллелограмма $AB = a$.

Применим теорему косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

$a^2 = (AO)^2 + (BO)^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos(\alpha)$

Подставим значения длин половин диагоналей:

$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(\alpha)$

$a^2 = \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} - \frac{d_1 d_2}{2} \cos(\alpha)$

Извлекая квадратный корень, получаем формулу для стороны $a$:

$a = \sqrt{\frac{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1 d_2 \cos(\alpha)}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1 d_2 \cos(\alpha)}$

2. Нахождение стороны $b$

Рассмотрим смежный треугольник $\triangle BOC$. Его стороны $BO = d_2/2$ и $CO = d_1/2$. Третья сторона — $BC = b$.

Угол $\angle BOC$ является смежным с углом $\angle AOB$, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle BOC = 180^\circ - \alpha$.

Снова применяем теорему косинусов для треугольника $\triangle BOC$:

$b^2 = (BO)^2 + (CO)^2 - 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos(180^\circ - \alpha)$

Используя тригонометрическое тождество $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, упростим выражение:

$b^2 = \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \frac{d_1}{2} \cdot (-\cos(\alpha))$

$b^2 = \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} + \frac{d_1 d_2}{2} \cos(\alpha)$

Извлекая квадратный корень, получаем формулу для стороны $b$:

$b = \sqrt{\frac{d_1^2 + d_2^2 + 2d_1 d_2 \cos(\alpha)}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2 + 2d_1 d_2 \cos(\alpha)}$

Ответ: Если $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей параллелограмма, а $\alpha$ — угол между ними, то стороны параллелограмма $a$ и $b$ можно найти по формулам:$a = \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1 d_2 \cos(\alpha)}$$b = \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2 + 2d_1 d_2 \cos(\alpha)}$