Номер 3.23, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.23. Найдите высоту дерева по данным на рисунке 3.5, если $BC = a$.

A

$60^\circ$

$45^\circ$

B

C

Рис. 3.5

Обозначим высоту дерева $h$. На приложенном рисунке это отрезок $AD$, где $A$ — верхушка дерева, а $D$ — его основание. Предполагаем, что дерево растет перпендикулярно земле, поэтому $\triangle ADB$ и $\triangle ADC$ — прямоугольные треугольники с прямым углом при вершине $D$.

Пусть расстояние от основания дерева до точки $B$ равно $DB = x$. Из условия задачи, расстояние между точками $B$ и $C$ равно $a$. Тогда расстояние от основания дерева до точки $C$ будет равно $DC = DB + BC = x + a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADB$. По определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике (отношение противолежащего катета к прилежащему):
$\tan(\angle ABD) = \frac{AD}{DB}$
Подставим известные значения: $\angle ABD = 60^\circ$, $AD = h$, $DB = x$.
$\tan(60^\circ) = \frac{h}{x}$
Зная, что $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем первое уравнение:
$\sqrt{3} = \frac{h}{x} \implies h = x\sqrt{3}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$. Аналогично:
$\tan(\angle ACD) = \frac{AD}{DC}$
Подставим известные значения: $\angle ACD = 45^\circ$, $AD = h$, $DC = x + a$.
$\tan(45^\circ) = \frac{h}{x+a}$
Зная, что $\tan(45^\circ) = 1$, получаем второе уравнение:
$1 = \frac{h}{x+a} \implies h = x + a$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $h$ и $x$:
$\begin{cases} h = x\sqrt{3} \\ h = x + a\end{cases}$
Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части, чтобы найти $x$:
$x\sqrt{3} = x + a$
$x\sqrt{3} - x = a$
$x(\sqrt{3} - 1) = a$
$x = \frac{a}{\sqrt{3} - 1}$

Теперь, когда мы выразили $x$ через $a$, подставим это выражение в любое из уравнений для $h$. Воспользуемся вторым уравнением $h = x + a$:
$h = \frac{a}{\sqrt{3} - 1} + a$
Приведем к общему знаменателю:
$h = \frac{a + a(\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} - 1} = \frac{a + a\sqrt{3} - a}{\sqrt{3} - 1} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{3} + 1)$:
$h = \frac{a\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{a(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{a(3 + \sqrt{3})}{3 - 1} = \frac{a(3 + \sqrt{3})}{2}$

Ответ: Высота дерева равна $\frac{a(3 + \sqrt{3})}{2}$.