Номер 3.29, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.29. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $CD$. Докажите, что если $AC > BC$, то $\angle ACD < \angle BCD$.

Для доказательства утверждения воспользуемся методом дополнительного построения. Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором проведена медиана $CD$.

1. Выполним построение: продлим медиану $CD$ за точку $D$ на ее длину до точки $E$ так, что $CD = DE$. Соединим точку $E$ с точкой $A$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle ADE$ и $\triangle BDC$. В этих треугольниках:

• $AD = BD$, так как $CD$ — медиана по условию.
• $DE = CD$ по нашему построению.
• $\angle ADE = \angle BDC$ как вертикальные углы.

Следовательно, $\triangle ADE \cong \triangle BDC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

3. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов:

• $AE = BC$
• $\angle AED = \angle BCD$

4. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ACE$. По условию задачи дано, что $AC > BC$. Используя равенство $AE = BC$, которое мы доказали в предыдущем шаге, получаем неравенство для сторон треугольника $\triangle ACE$: $AC > AE$.

5. Применим теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника, которая гласит, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. В $\triangle ACE$:

• стороне $AC$ противолежит угол $\angle AEC$;
• стороне $AE$ противолежит угол $\angle ACE$.

Так как $AC > AE$, то и противолежащие им углы находятся в таком же соотношении: $\angle AEC > \angle ACE$.

6. Вернемся к равенствам углов, полученным из конгруэнтности треугольников: $\angle AED = \angle BCD$ и $\angle ACE = \angle ACD$. Угол $\angle AEC$ — это тот же угол, что и $\angle AED$.

Подставив эти соотношения в неравенство $\angle AEC > \angle ACE$, получим:

$\angle BCD > \angle ACD$

Это и есть то, что требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если в треугольнике $ABC$ медиана $CD$ такова, что сторона $AC > BC$, то угол $\angle ACD < \angle BCD$.