Номер 3.27, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.27. Покажите, что в треугольнике со сторонами $a, b, c$ высоту, опущенную на сторону $c$, можно найти по формуле

$h_c = \frac{2S}{c}.$

Пользуйтесь только формулой (2).

Для доказательства данной формулы рассмотрим произвольный треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$. Пусть $S$ — площадь этого треугольника, а $h_c$ — высота, проведенная к стороне $c$.

В условии задачи указано, что необходимо использовать "формулу (2)". Поскольку текст этой формулы не приводится, мы будем исходить из предположения, что это наиболее известная формула для площади треугольника, связывающая основание и высоту:

$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$

Применительно к нашему случаю, где основанием является сторона $c$, а высотой — $h_c$, формула запишется так:

$S = \frac{1}{2} c \cdot h_c$

Теперь выразим высоту $h_c$ из этого равенства. Для этого выполним следующие алгебраические преобразования:

1. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от коэффициента $\frac{1}{2}$:

$2 \cdot S = 2 \cdot (\frac{1}{2} c \cdot h_c)$

$2S = c \cdot h_c$

2. Разделим обе части полученного равенства на $c$. Так как $c$ — это длина стороны треугольника, то $c > 0$, и это действие является корректным:

$\frac{2S}{c} = \frac{c \cdot h_c}{c}$

После сокращения $c$ в правой части получаем:

$\frac{2S}{c} = h_c$

Поменяв местами левую и правую части уравнения, мы приходим к искомой формуле:

$h_c = \frac{2S}{c}$

Таким образом, мы доказали, что формула верна.

Ответ: Мы исходим из общеизвестной формулы площади треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$, которую в задаче, предположительно, называют "формулой (2)". Для стороны $c$ и опущенной на нее высоты $h_c$ эта формула имеет вид $S = \frac{1}{2} c \cdot h_c$. Умножая обе части уравнения на 2, получаем $2S = c \cdot h_c$. Далее, разделив обе части на $c$ (где $c \ne 0$), мы выражаем высоту: $h_c = \frac{2S}{c}$. Это и требовалось показать.