Номер 3.22, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.22. Докажите, что против тупого угла лежит наибольшая сторона треугольника.

Для доказательства этого утверждения можно использовать два подхода: один основан на теореме о соотношении сторон и углов треугольника, а другой — на теореме косинусов.

Доказательство (через соотношение углов и сторон)

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$, где стороны, противолежащие углам $A$, $B$ и $C$, равны $a$, $b$ и $c$ соответственно. Допустим, что угол $C$ в этом треугольнике является тупым.

1. По определению, тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$. Таким образом, $\angle C > 90^\circ$.
2. Согласно теореме о сумме углов треугольника, $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.
3. Выразим сумму углов $A$ и $B$: $\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C$. Так как $\angle C > 90^\circ$, то $180^\circ - \angle C < 180^\circ - 90^\circ$, следовательно, $\angle A + \angle B < 90^\circ$.
4. Поскольку углы $A$ и $B$ — это углы треугольника, они должны быть положительными ($\angle A > 0^\circ$, $\angle B > 0^\circ$). Из того, что их сумма меньше $90^\circ$, следует, что каждый из них по отдельности также меньше $90^\circ$. Значит, углы $A$ и $B$ — острые.
5. Таким образом, мы имеем $\angle C > 90^\circ$, $\angle A < 90^\circ$ и $\angle B < 90^\circ$. Отсюда очевидно, что $\angle C$ является наибольшим углом в треугольнике: $\angle C > \angle A$ и $\angle C > \angle B$.
6. Воспользуемся теоремой о соотношении между сторонами и углами треугольника, которая гласит: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
7. Так как $\angle C > \angle A$, то сторона $c$, лежащая против $\angle C$, больше стороны $a$, лежащей против $\angle A$, то есть $c > a$.
8. Так как $\angle C > \angle B$, то сторона $c$ больше стороны $b$, лежащей против $\angle B$, то есть $c > b$.
9. Поскольку сторона $c$ больше каждой из двух других сторон, она является наибольшей стороной треугольника.

Альтернативное доказательство (через теорему косинусов)

Теорема косинусов для стороны $c$ треугольника $ABC$ записывается в виде формулы:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\angle C)$
Пусть угол $C$ — тупой, то есть $90^\circ < \angle C < 180^\circ$. В этом интервале значений косинус угла является отрицательной величиной: $\cos(\angle C) < 0$.
Рассмотрим выражение $-2ab \cos(\angle C)$. Так как длины сторон $a$ и $b$ положительны, а $\cos(\angle C)$ отрицателен, всё это выражение будет положительным:
$-2ab \cos(\angle C) > 0$
Тогда равенство для $c^2$ можно представить как:
$c^2 = a^2 + b^2 + (\text{положительное число})$
Из этого следует, что $c^2 > a^2 + b^2$.
А из этого неравенства, в свою очередь, следует, что $c^2 > a^2$ и $c^2 > b^2$.
Поскольку длины сторон могут быть только положительными, получаем $c > a$ и $c > b$.
Таким образом, сторона $c$, лежащая против тупого угла $C$, является наибольшей стороной треугольника.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если в треугольнике есть тупой угол, то он является наибольшим углом этого треугольника. По теореме о соотношении сторон и углов, против большего угла лежит большая сторона. Следовательно, сторона, лежащая против тупого угла, является наибольшей стороной треугольника.