Номер 3.16, страница 111 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.16. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большая сторона 10 см, а угол при основании $70^\circ$. Найдите периметр трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, в которой $AD$ — большее основание, $BC$ — меньшее основание, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны.

Согласно условию задачи, мы имеем:

• Трапеция равнобедренная, следовательно, боковые стороны равны ($AB = CD$) и углы при основании равны ($\angle{A} = \angle{D} = 70^\circ$).
• Меньшее основание равно боковой стороне: $BC = AB = CD$.
• Большее основание $AD = 10$ см.

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон: $P = AB + BC + CD + AD$. Обозначим длину равных сторон $AB$, $BC$ и $CD$ через $x$. Тогда формула периметра примет вид: $P = x + x + x + 10 = 3x + 10$. Для нахождения периметра необходимо найти значение $x$.

Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на большее основание $AD$.

Полученный четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, так как $BC \parallel AD$ и $BH \parallel CK$ (как перпендикуляры к одной прямой). Следовательно, $HK = BC = x$.

Прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по гипотенузе и катету ($AB = CD$ как боковые стороны равнобедренной трапеции, $BH = CK$ как высоты). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AH = DK$.

Длина большего основания $AD$ может быть выражена как сумма длин отрезков: $AD = AH + HK + DK$. Подставив известные значения и выражения, получим: $10 = AH + x + AH = 2 \cdot AH + x$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нем известны гипотенуза $AB = x$ и угол $\angle{A} = 70^\circ$. Катет $AH$, прилежащий к этому углу, можно выразить через гипотенузу с помощью косинуса: $AH = AB \cdot \cos(\angle{A}) = x \cdot \cos(70^\circ)$.

Подставим это выражение для $AH$ в формулу для основания $AD$: $10 = 2 \cdot (x \cdot \cos(70^\circ)) + x$.

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$: $10 = x \cdot (2\cos(70^\circ) + 1)$. $x = \frac{10}{1 + 2\cos(70^\circ)}$.

Мы нашли длину боковой стороны и меньшего основания. Теперь можем вычислить периметр трапеции: $P = 3x + 10 = 3 \cdot \left(\frac{10}{1 + 2\cos(70^\circ)}\right) + 10$. $P = \frac{30}{1 + 2\cos(70^\circ)} + 10$ см.

Так как значение $\cos(70^\circ)$ не является табличным рациональным числом, ответ представляется в виде этого выражения.

Ответ: Периметр трапеции равен $P = \left(\frac{30}{1 + 2\cos(70^\circ)} + 10\right)$ см.