Номер 3.10, страница 110 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.10. Найдите по стороне $a$ и углу $\alpha$, противолежащему этой стороне, радиус окружности, описанной около данного треугольника, если:

1) $a=5$ м, $\alpha=30^\circ$;

2) $a=3\sqrt{2}$ см, $\alpha=45^\circ$;

3) $a=0,6$ дм, $\alpha=150^\circ$;

4) $a=21$ см, $\alpha=60^\circ$.

Для нахождения радиуса $R$ окружности, описанной около треугольника, воспользуемся следствием из теоремы синусов. Теорема синусов утверждает, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру ($2R$) описанной окружности:

$ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $

Отсюда радиус описанной окружности можно найти по формуле:

$ R = \frac{a}{2 \sin \alpha} $

Применим эту формулу для каждого случая.

1) Дано: $a=5$ м, $\alpha=30^{\circ}$.

Найдем радиус $R$:

$ R = \frac{5}{2 \sin 30^{\circ}} $

Так как $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$, то:

$ R = \frac{5}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{5}{1} = 5 $ м.

Ответ: 5 м.

2) Дано: $a=3\sqrt{2}$ см, $\alpha=45^{\circ}$.

Найдем радиус $R$:

$ R = \frac{3\sqrt{2}}{2 \sin 45^{\circ}} $

Так как $\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

$ R = \frac{3\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3 $ см.

Ответ: 3 см.

3) Дано: $a=0,6$ дм, $\alpha=150^{\circ}$.

Найдем радиус $R$:

$ R = \frac{0,6}{2 \sin 150^{\circ}} $

Используя формулу приведения, $\sin 150^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.

$ R = \frac{0,6}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{0,6}{1} = 0,6 $ дм.

Ответ: 0,6 дм.

4) Дано: $a=21$ см, $\alpha=60^{\circ}$.

Найдем радиус $R$:

$ R = \frac{21}{2 \sin 60^{\circ}} $

Так как $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$ R = \frac{21}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{21}{\sqrt{3}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$ R = \frac{21 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{21\sqrt{3}}{3} = 7\sqrt{3} $ см.

Ответ: $7\sqrt{3}$ см.