Номер 3.8, страница 110 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.8. В треугольнике даны стороны $a$, $b$ и угол $\alpha$, противолежащий стороне $a$. Найдите угол $\beta$, противолежащий стороне $b$, если:

1) $a=3$ м, $b=5$ м, $\alpha=30^\circ$;

2) $a=8$ м, $b=7$ м, $\alpha=60^\circ$;

3) $a=2\sqrt{2}$ см, $b=3$ см, $\alpha=45^\circ$;

4) $a=6$ см, $b=2\sqrt{3}$ см, $\alpha=120^\circ$.

Для решения всех подпунктов задачи используется теорема синусов. Для любого треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и противолежащими им углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ соответственно, справедливо соотношение:

$ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} $

Из этого соотношения можно выразить синус искомого угла $\beta$ через известные величины:

$ \sin\beta = \frac{b \cdot \sin\alpha}{a} $

После нахождения значения $\sin\beta$ нужно определить сам угол $\beta$. Важно помнить, что в треугольнике угол может быть от $0^\circ$ до $180^\circ$. Если $\sin\beta = y$, где $0 < y < 1$, то может существовать два угла: острый $\beta_1 = \arcsin(y)$ и тупой $\beta_2 = 180^\circ - \arcsin(y)$. Возможность существования второго (тупого) угла проверяется условием $\alpha + \beta_2 < 180^\circ$.

1) Дано: $a=3$ м, $b=5$ м, $\alpha=30^\circ$.

Подставляем значения в формулу для $\sin\beta$:

$ \sin\beta = \frac{5 \cdot \sin30^\circ}{3} $

Зная, что $ \sin30^\circ = \frac{1}{2} $, получаем:

$ \sin\beta = \frac{5 \cdot \frac{1}{2}}{3} = \frac{5}{6} $

Так как $ 0 < \frac{5}{6} < 1 $, существует два возможных значения для угла $\beta$:

1. Острый угол: $ \beta_1 = \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) $.

2. Тупой угол: $ \beta_2 = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) $.

Проверим, возможен ли второй случай. Сумма углов $\alpha + \beta_2$ должна быть меньше $180^\circ$:

$ \alpha + \beta_2 = 30^\circ + 180^\circ - \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) < 180^\circ $

$ 30^\circ < \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) $

Это неравенство верно, так как $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} = \frac{3}{6} $, а $ \frac{3}{6} < \frac{5}{6} $. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: $ \beta = \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) $ или $ \beta = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) $.

2) Дано: $a=8$ м, $b=7$ м, $\alpha=60^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$ \sin\beta = \frac{7 \cdot \sin60^\circ}{8} $

Зная, что $ \sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:

$ \sin\beta = \frac{7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{8} = \frac{7\sqrt{3}}{16} $

В данном случае сторона $a$ больше стороны $b$ ($8 > 7$). В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, поэтому $\alpha > \beta$.

Так как $\alpha = 60^\circ$, то угол $\beta$ должен быть меньше $60^\circ$, то есть он может быть только острым. Тупой угол $\beta_2 = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{7\sqrt{3}}{16}\right)$ будет больше $90^\circ$ и, следовательно, больше $60^\circ$, что противоречит условию $\alpha > \beta$.

Поэтому существует только одно решение.

Ответ: $ \beta = \arcsin\left(\frac{7\sqrt{3}}{16}\right) $.

3) Дано: $a=2\sqrt{2}$ см, $b=3$ см, $\alpha=45^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$ \sin\beta = \frac{3 \cdot \sin45^\circ}{2\sqrt{2}} $

Зная, что $ \sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:

$ \sin\beta = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{3}{4} $

Так как $ 0 < \frac{3}{4} < 1 $, существует два возможных значения для угла $\beta$:

1. Острый угол: $ \beta_1 = \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) $.

2. Тупой угол: $ \beta_2 = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) $.

Проверим возможность второго случая. Условие $\alpha + \beta_2 < 180^\circ$:

$ 45^\circ + 180^\circ - \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) < 180^\circ $

$ 45^\circ < \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) $

Это неравенство верно, так как $ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 $, а $ \frac{3}{4} = 0.75 $. Так как $0.707 < 0.75$, то и $45^\circ < \arcsin\left(\frac{3}{4}\right)$.

Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: $ \beta = \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) $ или $ \beta = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) $.

4) Дано: $a=6$ см, $b=2\sqrt{3}$ см, $\alpha=120^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$ \sin\beta = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sin120^\circ}{6} $

Зная, что $ \sin120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:

$ \sin\beta = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{6} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $

Из уравнения $\sin\beta = \frac{1}{2}$ возможны два угла: $\beta_1 = 30^\circ$ и $\beta_2 = 150^\circ$.

Проверим условие $\alpha + \beta < 180^\circ$ для каждого случая, учитывая, что $\alpha = 120^\circ$:

1. Для $\beta_1 = 30^\circ$: $ \alpha + \beta_1 = 120^\circ + 30^\circ = 150^\circ $. Так как $150^\circ < 180^\circ$, это решение является действительным.

2. Для $\beta_2 = 150^\circ$: $ \alpha + \beta_2 = 120^\circ + 150^\circ = 270^\circ $. Так как $270^\circ > 180^\circ$, такое решение невозможно.

Таким образом, задача имеет только одно решение.

Ответ: $ \beta = 30^\circ $.