Номер 3.2, страница 109 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.2. Найдите угол B, если в треугольнике ABC $\angle A = 30^{\circ}$, $AC = 2$ см, $BC = \sqrt{2}$ см.

Для нахождения угла $B$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны.

Формула теоремы синусов:

$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $

В нашем случае, нам даны:

Угол $ \angle A = 30^\circ $
Сторона $AC$ (противолежащая углу $B$), $b = 2$ см
Сторона $BC$ (противолежащая углу $A$), $a = \sqrt{2}$ см

Подставим известные значения в формулу теоремы синусов:

$ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} $

$ \frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = \frac{2}{\sin B} $

Мы знаем, что значение синуса 30 градусов равно $ \frac{1}{2} $. Подставим это значение в уравнение:

$ \frac{\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sin B} $

$ 2\sqrt{2} = \frac{2}{\sin B} $

Теперь выразим $ \sin B $:

$ \sin B = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:

$ \sin B = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Уравнение $ \sin B = \frac{\sqrt{2}}{2} $ имеет два возможных решения для угла в треугольнике (угол должен быть от $0^\circ$ до $180^\circ$):

1. $ \angle B = 45^\circ $

2. $ \angle B = 135^\circ $

Необходимо проверить, могут ли существовать треугольники с такими углами. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

Проверка для $ \angle B = 45^\circ $:

$ \angle A + \angle B = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ $

Сумма двух углов меньше $180^\circ$, значит третий угол $C$ существует и равен $180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$. Этот случай возможен.

Проверка для $ \angle B = 135^\circ $:

$ \angle A + \angle B = 30^\circ + 135^\circ = 165^\circ $

Сумма двух углов меньше $180^\circ$, значит третий угол $C$ существует и равен $180^\circ - 165^\circ = 15^\circ$. Этот случай также возможен.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: $45^\circ$ или $135^\circ$.