Номер 2.134, страница 105 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.134. Докажите, что выполняется равенство $b : 2p = B_1O : B_1B$, если $BB_1$ — биссектриса треугольника $ABC$, точка $O$ — центр вписанной окружности, $AC=b$ и $p$ — его полупериметр.

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны имеют длины $AB = c$, $BC = a$, $AC = b$. Полупериметр треугольника $p$ определяется как $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Точка $O$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, следовательно, она является точкой пересечения его биссектрис. Поскольку $BB_1$ — биссектриса угла $B$, точка $O$ лежит на отрезке $BB_1$. Также отрезок $AO$ является биссектрисой угла $A$.

Рассмотрим треугольник $ABB_1$. Отрезок $AO$ является биссектрисой угла $BAB_1$. По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Применительно к треугольнику $ABB_1$ и биссектрисе $AO$ это свойство записывается так:$ \frac{B_1O}{OB} = \frac{AB_1}{AB} $

Выразим из этой пропорции отношение $\frac{B_1O}{B_1B}$. Зная, что $B_1B = B_1O + OB$, мы можем написать:$ OB = \frac{B_1O \cdot AB}{AB_1} $$ B_1B = B_1O + \frac{B_1O \cdot AB}{AB_1} = B_1O \left(1 + \frac{AB}{AB_1}\right) = B_1O \left(\frac{AB_1 + AB}{AB_1}\right) $Отсюда следует:$ \frac{B_1O}{B_1B} = \frac{AB_1}{AB_1 + AB} $

Теперь используем тот факт, что $BB_1$ — биссектриса угла $B$ в исходном треугольнике $ABC$. По свойству биссектрисы для $\triangle ABC$:$ \frac{AB_1}{B_1C} = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{a} $

Так как точка $B_1$ лежит на стороне $AC$, то $AB_1 + B_1C = AC = b$. Из пропорции выше выразим $B_1C = \frac{a \cdot AB_1}{c}$ и подставим в это равенство:$ AB_1 + \frac{a \cdot AB_1}{c} = b $$ AB_1 \left(1 + \frac{a}{c}\right) = b $$ AB_1 \left(\frac{c+a}{c}\right) = b $$ AB_1 = \frac{bc}{a+c} $

Подставим полученное выражение для $AB_1$ в формулу для отношения $\frac{B_1O}{B_1B}$:$ \frac{B_1O}{B_1B} = \frac{AB_1}{AB_1 + AB} = \frac{\frac{bc}{a+c}}{\frac{bc}{a+c} + c} $

Упростим полученное дробное выражение:$ \frac{B_1O}{B_1B} = \frac{\frac{bc}{a+c}}{\frac{bc + c(a+c)}{a+c}} = \frac{bc}{bc + ac + c^2} = \frac{bc}{c(b+a+c)} = \frac{b}{a+b+c} $

По определению полупериметра $p = \frac{a+b+c}{2}$, следовательно, $a+b+c = 2p$. Подставив это в наше выражение, получаем:$ \frac{B_1O}{B_1B} = \frac{b}{2p} $

Данное равенство можно записать в виде пропорции $b : 2p = B_1O : B_1B$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $b:2p=B_1O:B_1B$ доказано.