Номер 2.128, страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.128. Биссектриса $CC_1$ треугольника $ABC$ делит сторону $AB$ на отрезки $AC_1=m$, $BC_1=n$. Докажите, что $m=\frac{bc}{a+b}$, $n=\frac{ac}{a+b}$, если $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$.

Для доказательства воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $CC_1$ — биссектриса угла $C$. Стороны треугольника имеют длины $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$. Биссектриса делит сторону $AB$ на отрезки $AC_1 = m$ и $BC_1 = n$.

Согласно свойству биссектрисы, мы можем записать следующую пропорцию:

$ \frac{AC}{BC} = \frac{AC_1}{BC_1} $

Подставляя известные обозначения, получаем:

$ \frac{b}{a} = \frac{m}{n} $

Это наше первое уравнение. Второе уравнение следует из того, что точка $C_1$ лежит на отрезке $AB$:

$ AC_1 + BC_1 = AB $

$ m + n = c $

Теперь у нас есть система из двух уравнений с переменными $m$ и $n$:

1) $ \frac{b}{a} = \frac{m}{n} $

2) $ m + n = c $

Решим эту систему для $m$. Из первого уравнения выразим $n$:

$ bn = am \Rightarrow n = \frac{am}{b} $

Подставим это выражение для $n$ во второе уравнение:

$ m + \frac{am}{b} = c $

Вынесем $m$ за скобки:

$ m \left( 1 + \frac{a}{b} \right) = c $

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$ m \left( \frac{b+a}{b} \right) = c $

Отсюда находим $m$:

$ m = \frac{bc}{a+b} $

Первая формула доказана.

Теперь решим систему для $n$. Из второго уравнения выразим $m$:

$ m = c - n $

Подставим это выражение в первое уравнение $ \frac{b}{a} = \frac{m}{n} $:

$ \frac{b}{a} = \frac{c-n}{n} $

Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$ bn = a(c-n) $

$ bn = ac - an $

Перенесем все члены, содержащие $n$, в левую часть:

$ bn + an = ac $

Вынесем $n$ за скобки:

$ n(b+a) = ac $

Отсюда находим $n$:

$ n = \frac{ac}{a+b} $

Вторая формула также доказана. Таким образом, утверждение задачи полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Формулы для длин отрезков, на которые биссектриса $CC_1$ делит сторону $AB$, имеют вид: $ m=\frac{bc}{a+b} $ и $ n=\frac{ac}{a+b} $.