Номер 2.124, страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.124. Вершины $D, E, F$ ромба $ADEF$, вписанного в треугольник $ABC$, лежат на сторонах $AB, BC, AC$ соответственно. Найдите отрезки $BE$ и $EC$, если $AB=14$ см, $BC=12$ см и $AC=10$ см.

По условию задачи, в треугольник $ABC$ со сторонами $AB=14$ см, $BC=12$ см и $AC=10$ см вписан ромб $ADEF$. Вершина $A$ у треугольника и ромба общая, а вершины $D$, $E$ и $F$ лежат на сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Необходимо найти длины отрезков $BE$ и $EC$.

По определению ромба, все его стороны равны. Обозначим длину стороны ромба через $x$. Тогда $AD = DE = EF = FA = x$. Также, у ромба противоположные стороны параллельны. В нашем случае это означает, что $DE \parallel AF$ и $EF \parallel AD$.

Поскольку вершина $F$ ромба лежит на стороне $AC$ треугольника, то $DE \parallel AC$. Аналогично, так как вершина $D$ лежит на стороне $AB$, то $EF \parallel AB$.

Параллельность сторон ромба и треугольника позволяет нам использовать свойство подобных треугольников.

Рассмотрим $\triangle BDE$ и $\triangle BCA$. У них общий угол $\angle B$. Так как $DE \parallel AC$, то $\angle BED = \angle BCA$ как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $AC$ и секущей $BC$. Следовательно, $\triangle BDE \sim \triangle BCA$ по двум углам. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их сторон: $$ \frac{BE}{BC} = \frac{DE}{AC} $$

Теперь рассмотрим $\triangle CEF$ и $\triangle CAB$. У них общий угол $\angle C$. Так как $EF \parallel AB$, то $\angle CEF = \angle CBA$ как соответственные углы при параллельных прямых $EF$ и $AB$ и секущей $BC$. Следовательно, $\triangle CEF \sim \triangle CAB$ по двум углам. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их сторон: $$ \frac{EC}{BC} = \frac{EF}{AB} $$

Пусть длина искомого отрезка $BE = y$. Точка $E$ лежит на отрезке $BC$, поэтому $EC = BC - BE = 12 - y$. Длина стороны ромба, как мы обозначили, равна $x$, то есть $DE = EF = x$. Подставим все известные значения в наши пропорции:
1) $ \frac{y}{12} = \frac{x}{10} $
2) $ \frac{12-y}{12} = \frac{x}{14} $

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $x$ и $y$. Решим ее. Из первого уравнения выразим $x$: $$ x = \frac{10y}{12} = \frac{5y}{6} $$ Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение: $$ \frac{12-y}{12} = \frac{\frac{5y}{6}}{14} $$ $$ \frac{12-y}{12} = \frac{5y}{6 \cdot 14} = \frac{5y}{84} $$ Умножим обе части уравнения на 84, чтобы избавиться от знаменателей: $$ 7(12-y) = 5y $$ $$ 84 - 7y = 5y $$ $$ 84 = 12y $$ $$ y = \frac{84}{12} = 7 $$ Таким образом, мы нашли длину отрезка $BE$: $BE = 7$ см.

Теперь найдем длину отрезка $EC$: $$ EC = 12 - BE = 12 - 7 = 5 \text{ см} $$

Ответ: $BE = 7$ см, $EC = 5$ см.