Страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.123. Отрезок $BD$ — биссектриса треугольника $ABC$. Найдите:

1) отрезки $AD$ и $DC$, если $AB=10$ м, $BC=15$ м, $AC=20$ м;

2) сторону $BC$, если $AD:DC=8:5$ и $AB=16$ м;

3) сторону $AC$, если $AB:BC=2:7$ и $DC-AD=1$ м.

Для решения всех пунктов задачи используется свойство биссектрисы треугольника. Оно гласит, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим (прилежащим) сторонам треугольника. Для треугольника $ABC$ и биссектрисы $BD$ это свойство записывается в виде пропорции:

$ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} $

1) найти отрезки $AD$ и $DC$, если: $AB=10$ м, $BC=15$ м, $AC=20$ м;
Используем свойство биссектрисы, подставив известные значения сторон $AB$ и $BC$:
$ \frac{AD}{DC} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} $
Из этой пропорции выразим $AD$ через $DC$:
$ 3 \cdot AD = 2 \cdot DC \implies AD = \frac{2}{3}DC $
Так как точка $D$ лежит на стороне $AC$, то сумма отрезков $AD$ и $DC$ равна длине стороны $AC$:
$ AD + DC = AC = 20 $
Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} AD = \frac{2}{3}DC \\ AD + DC = 20 \end{cases} $
Подставим выражение для $AD$ из первого уравнения во второе:
$ \frac{2}{3}DC + DC = 20 $
$ \frac{5}{3}DC = 20 $
$ DC = 20 \cdot \frac{3}{5} = 12 $ м.
Теперь найдем $AD$:
$ AD = 20 - DC = 20 - 12 = 8 $ м.
Ответ: $AD = 8$ м, $DC = 12$ м.

2) найти сторону $BC$, если $AD:DC=8:5$ и $AB=16$ м;
Снова воспользуемся свойством биссектрисы:
$ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} $
По условию $AD:DC=8:5$, значит $ \frac{AD}{DC} = \frac{8}{5} $. Подставим это отношение и длину стороны $AB$ в формулу:
$ \frac{8}{5} = \frac{16}{BC} $
Теперь решим это уравнение относительно $BC$:
$ 8 \cdot BC = 16 \cdot 5 $
$ BC = \frac{16 \cdot 5}{8} = 2 \cdot 5 = 10 $ м.
Ответ: $BC = 10$ м.

3) найти сторону $AC$, если $AB:BC=2:7$ и $DC-AD=1$ м.
Из свойства биссектрисы следует, что отношение отрезков $AD$ и $DC$ равно отношению сторон $AB$ и $BC$:
$ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} $
По условию $AB:BC=2:7$, следовательно:
$ \frac{AD}{DC} = \frac{2}{7} $
Выразим $AD$ через $DC$: $AD = \frac{2}{7}DC$.
Также нам дано второе условие: $DC - AD = 1$.
Подставим выражение для $AD$ в это уравнение:
$ DC - \frac{2}{7}DC = 1 $
$ \frac{7DC - 2DC}{7} = 1 $
$ \frac{5}{7}DC = 1 $
$ DC = \frac{7}{5} = 1.4 $ м.
Теперь найдем $AD$:
$ AD = \frac{2}{7}DC = \frac{2}{7} \cdot 1.4 = 2 \cdot 0.2 = 0.4 $ м.
Сторона $AC$ является суммой длин отрезков $AD$ и $DC$:
$ AC = AD + DC = 0.4 + 1.4 = 1.8 $ м.
Ответ: $AC = 1.8$ м.

2.124. Вершины $D, E, F$ ромба $ADEF$, вписанного в треугольник $ABC$, лежат на сторонах $AB, BC, AC$ соответственно. Найдите отрезки $BE$ и $EC$, если $AB=14$ см, $BC=12$ см и $AC=10$ см.

По условию задачи, в треугольник $ABC$ со сторонами $AB=14$ см, $BC=12$ см и $AC=10$ см вписан ромб $ADEF$. Вершина $A$ у треугольника и ромба общая, а вершины $D$, $E$ и $F$ лежат на сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Необходимо найти длины отрезков $BE$ и $EC$.

По определению ромба, все его стороны равны. Обозначим длину стороны ромба через $x$. Тогда $AD = DE = EF = FA = x$. Также, у ромба противоположные стороны параллельны. В нашем случае это означает, что $DE \parallel AF$ и $EF \parallel AD$.

Поскольку вершина $F$ ромба лежит на стороне $AC$ треугольника, то $DE \parallel AC$. Аналогично, так как вершина $D$ лежит на стороне $AB$, то $EF \parallel AB$.

Параллельность сторон ромба и треугольника позволяет нам использовать свойство подобных треугольников.

Рассмотрим $\triangle BDE$ и $\triangle BCA$. У них общий угол $\angle B$. Так как $DE \parallel AC$, то $\angle BED = \angle BCA$ как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $AC$ и секущей $BC$. Следовательно, $\triangle BDE \sim \triangle BCA$ по двум углам. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их сторон: $$ \frac{BE}{BC} = \frac{DE}{AC} $$

Теперь рассмотрим $\triangle CEF$ и $\triangle CAB$. У них общий угол $\angle C$. Так как $EF \parallel AB$, то $\angle CEF = \angle CBA$ как соответственные углы при параллельных прямых $EF$ и $AB$ и секущей $BC$. Следовательно, $\triangle CEF \sim \triangle CAB$ по двум углам. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их сторон: $$ \frac{EC}{BC} = \frac{EF}{AB} $$

Пусть длина искомого отрезка $BE = y$. Точка $E$ лежит на отрезке $BC$, поэтому $EC = BC - BE = 12 - y$. Длина стороны ромба, как мы обозначили, равна $x$, то есть $DE = EF = x$. Подставим все известные значения в наши пропорции:
1) $ \frac{y}{12} = \frac{x}{10} $
2) $ \frac{12-y}{12} = \frac{x}{14} $

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $x$ и $y$. Решим ее. Из первого уравнения выразим $x$: $$ x = \frac{10y}{12} = \frac{5y}{6} $$ Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение: $$ \frac{12-y}{12} = \frac{\frac{5y}{6}}{14} $$ $$ \frac{12-y}{12} = \frac{5y}{6 \cdot 14} = \frac{5y}{84} $$ Умножим обе части уравнения на 84, чтобы избавиться от знаменателей: $$ 7(12-y) = 5y $$ $$ 84 - 7y = 5y $$ $$ 84 = 12y $$ $$ y = \frac{84}{12} = 7 $$ Таким образом, мы нашли длину отрезка $BE$: $BE = 7$ см.

Теперь найдем длину отрезка $EC$: $$ EC = 12 - BE = 12 - 7 = 5 \text{ см} $$

Ответ: $BE = 7$ см, $EC = 5$ см.

2.125. Стороны треугольника 51 см, 85 см и 104 см. Центр окружности, касающейся двух меньших сторон треугольника, лежит на его большей стороне. На какие части делит этот центр большую сторону треугольника?

Пусть дан треугольник, вершины которого обозначим $A$, $B$ и $C$. Стороны треугольника равны 51 см, 85 см и 104 см. Две меньшие стороны — 51 см и 85 см, а большая — 104 см. Пусть угол $C$ будет углом между двумя меньшими сторонами. Тогда длины сторон будут: $BC = 51$ см, $AC = 85$ см и $AB = 104$ см.

По условию, центр окружности, обозначим его $O$, лежит на большей стороне $AB$. Эта же окружность касается двух меньших сторон, $AC$ и $BC$.

Согласно основному свойству, центр окружности, которая касается двух сторон угла, всегда находится на биссектрисе этого угла. В нашем случае окружность касается сторон $AC$ и $BC$, образующих угол $C$. Таким образом, центр $O$ должен лежать на биссектрисе угла $C$.

Так как точка $O$ одновременно принадлежит и стороне $AB$, и биссектрисе угла $C$, то отрезок $CO$ является биссектрисой угла $C$ в треугольнике $ABC$.

Применим теорему о биссектрисе угла треугольника. Она утверждает, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, которые пропорциональны двум другим (прилежащим) сторонам. Для биссектрисы $CO$ это свойство записывается в виде отношения: $$ \frac{AO}{BO} = \frac{AC}{BC} $$

Подставим в это соотношение известные длины сторон: $$ \frac{AO}{BO} = \frac{85}{51} $$

Теперь упростим полученную дробь. Заметим, что и числитель, и знаменатель делятся на 17: $85 = 5 \times 17$, а $51 = 3 \times 17$. $$ \frac{AO}{BO} = \frac{5 \times 17}{3 \times 17} = \frac{5}{3} $$

Это означает, что точка $O$ делит сторону $AB$ в отношении $5:3$. Мы также знаем, что общая длина стороны $AB$ составляет 104 см: $$ AO + BO = 104 $$

Пусть длина отрезка $AO$ будет $x$, а длина $BO$ — $y$. Составим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 104 \\ \frac{x}{y} = \frac{5}{3} \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $x$: $x = \frac{5}{3}y$. Подставим это выражение в первое уравнение: $$ \frac{5}{3}y + y = 104 $$ $$ \frac{5y + 3y}{3} = 104 $$ $$ \frac{8}{3}y = 104 $$ Теперь решим относительно $y$: $$ y = 104 \cdot \frac{3}{8} = 13 \cdot 3 = 39 \text{ см} $$ Зная $y$, найдем $x$: $$ x = 104 - y = 104 - 39 = 65 \text{ см} $$

Следовательно, центр окружности $O$ делит большую сторону $AB$ на два отрезка длиной 65 см и 39 см.

Ответ: 65 см и 39 см.

2.126. Отрезки $AB=15$ м, $AC=21$ м и $BC=24$ м являются хордами окружности. Точка $D$ – середина дуги $CB$. На какие части прямая $AD$ делит хорду $BC$?

Пусть точки $A$, $B$, $C$ лежат на окружности. Отрезки $AB=15$ м, $AC=21$ м и $BC=24$ м являются хордами этой окружности, образуя вписанный треугольник $ABC$. Точка $D$ является серединой дуги $CB$, не содержащей точку $A$. Прямая $AD$ пересекает хорду $BC$ в некоторой точке, назовем ее $E$. Требуется найти длины отрезков $BE$ и $EC$.

По условию, точка $D$ — середина дуги $CB$. Это означает, что дуга $CD$ равна дуге $DB$.

Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Угол $\angle{CAD}$ — вписанный и опирается на дугу $CD$. Угол $\angle{DAB}$ — вписанный и опирается на дугу $DB$.

Поскольку дуга $CD$ = дуга $DB$, то и соответствующие вписанные углы равны: $\angle{CAD} = \angle{DAB}$.

Это означает, что луч $AD$ является биссектрисой угла $\angle{CAB}$ в треугольнике $ABC$. Точка $E$ — это точка пересечения биссектрисы угла $A$ со стороной $BC$.

Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}$

Подставим известные значения длин сторон $AB=15$ м и $AC=21$ м:

$\frac{BE}{EC} = \frac{15}{21} = \frac{5}{7}$

Из этого соотношения можно выразить $BE$ через $EC$:

$BE = \frac{5}{7}EC$

Также мы знаем, что сумма длин отрезков $BE$ и $EC$ равна длине хорды $BC$:

$BE + EC = BC = 24$ м

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $BE$ из первого уравнения во второе:

$\frac{5}{7}EC + EC = 24$

$(\frac{5}{7} + 1)EC = 24$

$(\frac{5}{7} + \frac{7}{7})EC = 24$

$\frac{12}{7}EC = 24$

Найдем $EC$:

$EC = 24 \cdot \frac{7}{12} = 2 \cdot 7 = 14$ м

Теперь найдем $BE$:

$BE = 24 - EC = 24 - 14 = 10$ м

Таким образом, прямая $AD$ делит хорду $BC$ на отрезки длиной 10 м и 14 м.

Ответ: прямая $AD$ делит хорду $BC$ на части длиной 10 м и 14 м.

2.127. Проведите к окружностям с разными радиусами общие касательные, когда:

1) окружности не пересекаются;

2) окружности касаются внешним образом;

3) окружности пересекаются в двух точках.

Рассмотрим две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ и различными радиусами $R$ и $r$ соответственно. Пусть расстояние между центрами равно $d$. Общая касательная к двум окружностям — это прямая, которая касается обеих окружностей.

1) окружности не пересекаются;

Этот случай имеет место, когда расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов, то есть $d > R + r$. В такой конфигурации можно провести четыре общие касательные: две внешние и две внутренние.
Внешние касательные (на рисунке показаны синим цветом) не пересекают отрезок, соединяющий центры окружностей ($O_1O_2$).
Внутренние касательные (на рисунке показаны красным цветом) пересекают отрезок $O_1O_2$ в точке, лежащей между центрами $O_1$ и $O_2$.

Ответ: В случае, когда окружности не пересекаются и лежат одна вне другой, можно провести четыре общие касательные (две внешние и две внутренние).

2) окружности касаются внешним образом;

Этот случай имеет место, когда расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, то есть $d = R + r$. В такой конфигурации можно провести три общие касательные.
Две из них являются внешними (на рисунке показаны синим цветом).
Третья касательная является внутренней (на рисунке показана красным цветом), она проходит через точку касания окружностей и перпендикулярна линии, соединяющей их центры.

Ответ: В случае, когда окружности касаются внешним образом, можно провести три общие касательные (две внешние и одна внутренняя).

3) окружности пересекаются в двух точках.

Этот случай имеет место, когда расстояние между центрами окружностей меньше суммы их радиусов, но больше модуля их разности, то есть $|R - r| < d < R + r$. В такой конфигурации можно провести только две общие касательные, и обе они будут внешними.
Внутренние касательные провести невозможно, так как любая прямая, пересекающая отрезок $O_1O_2$, будет пересекать и сами окружности, а не касаться их.

Ответ: В случае, когда окружности пересекаются в двух точках, можно провести две общие касательные (обе внешние).

2.128. Биссектриса $CC_1$ треугольника $ABC$ делит сторону $AB$ на отрезки $AC_1=m$, $BC_1=n$. Докажите, что $m=\frac{bc}{a+b}$, $n=\frac{ac}{a+b}$, если $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$.

Для доказательства воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $CC_1$ — биссектриса угла $C$. Стороны треугольника имеют длины $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$. Биссектриса делит сторону $AB$ на отрезки $AC_1 = m$ и $BC_1 = n$.

Согласно свойству биссектрисы, мы можем записать следующую пропорцию:

$ \frac{AC}{BC} = \frac{AC_1}{BC_1} $

Подставляя известные обозначения, получаем:

$ \frac{b}{a} = \frac{m}{n} $

Это наше первое уравнение. Второе уравнение следует из того, что точка $C_1$ лежит на отрезке $AB$:

$ AC_1 + BC_1 = AB $

$ m + n = c $

Теперь у нас есть система из двух уравнений с переменными $m$ и $n$:

1) $ \frac{b}{a} = \frac{m}{n} $

2) $ m + n = c $

Решим эту систему для $m$. Из первого уравнения выразим $n$:

$ bn = am \Rightarrow n = \frac{am}{b} $

Подставим это выражение для $n$ во второе уравнение:

$ m + \frac{am}{b} = c $

Вынесем $m$ за скобки:

$ m \left( 1 + \frac{a}{b} \right) = c $

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$ m \left( \frac{b+a}{b} \right) = c $

Отсюда находим $m$:

$ m = \frac{bc}{a+b} $

Первая формула доказана.

Теперь решим систему для $n$. Из второго уравнения выразим $m$:

$ m = c - n $

Подставим это выражение в первое уравнение $ \frac{b}{a} = \frac{m}{n} $:

$ \frac{b}{a} = \frac{c-n}{n} $

Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$ bn = a(c-n) $

$ bn = ac - an $

Перенесем все члены, содержащие $n$, в левую часть:

$ bn + an = ac $

Вынесем $n$ за скобки:

$ n(b+a) = ac $

Отсюда находим $n$:

$ n = \frac{ac}{a+b} $

Вторая формула также доказана. Таким образом, утверждение задачи полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Формулы для длин отрезков, на которые биссектриса $CC_1$ делит сторону $AB$, имеют вид: $ m=\frac{bc}{a+b} $ и $ n=\frac{ac}{a+b} $.

2.129. Сумма двух сторон треугольника равна 14 единиц, а третью сторону его биссектриса делит на отрезки, равные 3 и 4. Найдите стороны треугольника.

Пусть в треугольнике ABC стороны AC и BC обозначены как $b$ и $a$ соответственно. По условию задачи, их сумма равна 14 единицам: $a + b = 14$.

Биссектриса угла C, обозначим ее CL, делит третью сторону AB на отрезки AL и BL, длины которых равны 3 и 4. Таким образом, длина стороны AB, которую мы обозначим как $c$, равна сумме длин этих отрезков: $c = 3 + 4 = 7$.

Согласно свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае это записывается как $\frac{AC}{BC} = \frac{AL}{BL}$. Подставив наши обозначения и значения, получим: $\frac{b}{a} = \frac{3}{4}$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, которую нужно решить:

$a + b = 14$

$\frac{b}{a} = \frac{3}{4}$

Из второго уравнения выразим $b$ через $a$: $b = \frac{3}{4}a$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$a + \frac{3}{4}a = 14$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$\frac{4a + 3a}{4} = 14$

$\frac{7}{4}a = 14$

Теперь найдем $a$:

$a = 14 \cdot \frac{4}{7} = 2 \cdot 4 = 8$

Зная $a$, найдем вторую сторону $b$ из первого уравнения:

$b = 14 - a = 14 - 8 = 6$

Таким образом, мы нашли все три стороны треугольника. Две стороны, сумма которых равна 14, это 6 и 8. Третья сторона равна 7.

Ответ: стороны треугольника равны 6, 8 и 7.

2.130. Высота равнобедренного треугольника равна 20 см, а отношение основания к боковой стороне равно $4:3$. Найдите радиус вписанной окружности.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Обозначим основание как $a$, боковую сторону как $b$. Высота, проведенная к основанию, пусть будет $BH = h$. По условию, $h = 20$ см, а отношение основания к боковой стороне $a:b = 4:3$. Требуется найти радиус вписанной окружности $r$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда основание $a = 4x$, а боковая сторона $b = 3x$.В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, она делит основание пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Его катеты – это высота $BH = h = 20$ см и половина основания $HC = a/2 = (4x)/2 = 2x$. Гипотенуза – боковая сторона $BC = b = 3x$.

По теореме Пифагора для треугольника $BHC$: $BH^2 + HC^2 = BC^2$.Подставим наши значения:$20^2 + (2x)^2 = (3x)^2$$400 + 4x^2 = 9x^2$$9x^2 - 4x^2 = 400$$5x^2 = 400$$x^2 = 80$$x = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$

Теперь найдем длины сторон треугольника:Основание: $a = 4x = 4 \cdot 4\sqrt{5} = 16\sqrt{5}$ см.Боковая сторона: $b = 3x = 3 \cdot 4\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$ см.

Радиус вписанной окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр.

Вычислим площадь треугольника:$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 16\sqrt{5} \cdot 20 = 160\sqrt{5}$ см$^2$.

Вычислим полупериметр:$p = \frac{a + 2b}{2} = \frac{16\sqrt{5} + 2 \cdot 12\sqrt{5}}{2} = \frac{16\sqrt{5} + 24\sqrt{5}}{2} = \frac{40\sqrt{5}}{2} = 20\sqrt{5}$ см.

Теперь найдем радиус вписанной окружности:$r = \frac{S}{p} = \frac{160\sqrt{5}}{20\sqrt{5}} = 8$ см.

Другой способ решения (через подобные треугольники):Центр вписанной окружности $I$ лежит на высоте (и биссектрисе) $BH$. Расстояние от центра $I$ до основания $AC$ равно радиусу $r$, то есть $IH=r$. Расстояние от $B$ до $I$ равно $BI = BH - IH = h - r = 20 - r$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Проведем из центра $I$ перпендикуляр $IK$ на сторону $BC$. $IK$ также является радиусом, $IK=r$.Треугольник $BKI$ подобен треугольнику $BHC$ (по общему острому углу $B$). Из подобия следует отношение сторон:$\frac{IK}{HC} = \frac{BI}{BC}$Подставим известные величины:$HC = \frac{a}{2} = \frac{16\sqrt{5}}{2} = 8\sqrt{5}$ см.$BC = b = 12\sqrt{5}$ см.$\frac{r}{8\sqrt{5}} = \frac{20-r}{12\sqrt{5}}$Сократим обе части на $\sqrt{5}$:$\frac{r}{8} = \frac{20-r}{12}$$12r = 8(20-r)$$12r = 160 - 8r$$20r = 160$$r = \frac{160}{20} = 8$ см.Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 8 см.

2.131. Центр вписанной в равнобедренный треугольник окружности делит высоту треугольника в отношении $12:5$, боковая сторона равна 60 см. Найдите основание.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC = 60$ см. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Это значит, что $H$ – середина $AC$ ($AH = HC$) и $BH$ – биссектриса угла $\angle B$.

Центр вписанной окружности $O$ является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Поскольку $BH$ – биссектриса, точка $O$ лежит на отрезке $BH$. Расстояние от центра вписанной окружности до основания $AC$ равно радиусу $r$ этой окружности, так как $BH \perp AC$. Следовательно, $OH = r$.

По условию задачи, центр $O$ делит высоту $BH$ в отношении $12:5$, считая от вершины $B$. Таким образом, мы имеем соотношение: $ \frac{BO}{OH} = \frac{12}{5} $

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ($ \angle AHB = 90^\circ $). Отрезок $AO$ является биссектрисой угла $\angle A$ треугольника $ABC$, так как $O$ – центр вписанной окружности. Следовательно, $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAH$ в треугольнике $ABH$.

По свойству биссектрисы угла треугольника, биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Применим это свойство к треугольнику $ABH$ и биссектрисе $AO$: $ \frac{BO}{OH} = \frac{AB}{AH} $

Теперь мы можем подставить известные значения в это равенство, где $AB = 60$ см: $ \frac{12}{5} = \frac{60}{AH} $

Найдем длину отрезка $AH$ из этой пропорции: $ 12 \cdot AH = 5 \cdot 60 $ $ 12 \cdot AH = 300 $ $ AH = \frac{300}{12} = 25 $ см.

Поскольку высота $BH$ в равнобедренном треугольнике является и медианой, точка $H$ делит основание $AC$ пополам. Следовательно, длина основания равна: $ AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 25 = 50 $ см.

Ответ: 50 см.

2.132. В прямоугольнике $ABCD$ точки $E$ и $F$ — середины сторон $AD$ и $BC$ соответственно. Найдите отношение $AB:AD$, если треугольники $ABC$ и $AEF$ подобны.

Пусть стороны прямоугольника $ABCD$ равны $AB = x$ и $AD = y$. Требуется найти отношение $\frac{AB}{AD} = \frac{x}{y}$.

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его противоположные стороны равны, то есть $BC = AD = y$. Угол $\angle B = 90^\circ$, следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный с катетами $AB = x$ и $BC = y$.

Точка $E$ является серединой стороны $AD$, поэтому $AE = \frac{1}{2}AD = \frac{y}{2}$.
Точка $F$ является серединой стороны $BC$, поэтому $BF = \frac{1}{2}BC = \frac{y}{2}$.

Рассмотрим треугольник $AEF$. Для определения его свойств введем систему координат с началом в точке $D$. Пусть $D=(0,0)$, $A=(0,y)$, $C=(x,0)$ и $B=(x,y)$.Тогда координаты точек $E$ и $F$ будут:

• $E$ — середина $AD$: $E = (\frac{0+0}{2}, \frac{y+0}{2}) = (0, \frac{y}{2})$
• $F$ — середина $BC$: $F = (\frac{x+x}{2}, \frac{y+0}{2}) = (x, \frac{y}{2})$

Ой, координаты $A, B, C, D$ заданы не по порядку. Исправим. Пусть $A=(0,y)$, $B=(x,y)$, $C=(x,0)$, $D=(0,0)$. Тогда:

• $E$ — середина $AD$: $E = (\frac{0+0}{2}, \frac{y+0}{2}) = (0, \frac{y}{2})$
• $F$ — середина $BC$: $F = (\frac{x+x}{2}, \frac{y+0}{2}) = (x, \frac{y}{2})$

Вершины треугольника $AEF$: $A(0,y)$, $E(0, \frac{y}{2})$, $F(x, \frac{y}{2})$.Найдем длины его сторон.

• $AE = \sqrt{(0-0)^2 + (y-\frac{y}{2})^2} = \sqrt{(\frac{y}{2})^2} = \frac{y}{2}$
• $EF = \sqrt{(x-0)^2 + (\frac{y}{2}-\frac{y}{2})^2} = \sqrt{x^2} = x$

Проверим, является ли треугольник $AEF$ прямоугольным. Найдем векторы, выходящие из вершины $E$:
$\vec{EA} = (0-0, y-\frac{y}{2}) = (0, \frac{y}{2})$
$\vec{EF} = (x-0, \frac{y}{2}-\frac{y}{2}) = (x, 0)$
Их скалярное произведение: $\vec{EA} \cdot \vec{EF} = 0 \cdot x + \frac{y}{2} \cdot 0 = 0$.Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, следовательно, $\angle AEF = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $AEF$ — прямоугольный с катетами $AE = \frac{y}{2}$ и $EF = x$.

По условию задачи треугольники $ABC$ и $AEF$ подобны. Поскольку оба треугольника прямоугольные, их катеты должны быть пропорциональны. Существует две возможные пары отношений для катетов:

1) $\frac{AB}{AE} = \frac{BC}{EF}$
Подставляем длины сторон: $\frac{x}{y/2} = \frac{y}{x}$.
Упрощаем: $\frac{2x}{y} = \frac{y}{x}$, что приводит к уравнению $2x^2 = y^2$.
Отсюда находим отношение: $\frac{x^2}{y^2} = \frac{1}{2}$, и так как длины сторон положительны, $\frac{x}{y} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

2) $\frac{AB}{EF} = \frac{BC}{AE}$
Подставляем длины сторон: $\frac{x}{x} = \frac{y}{y/2}$.
Упрощаем: $1 = 2$. Это неверное равенство, значит, данный случай невозможен.

Следовательно, единственно верным является первый случай. Искомое отношение $\frac{AB}{AD} = \frac{x}{y} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ или $\frac{\sqrt{2}}{2}$.